漸化式をマスターしよう（２）基本パターン⑤（anにルートや指数がついている漸化式）

（１）解説授業動画

https://youtu.be/-tz8yvWSUM0

• 次：漸化式をマスターしよう（２）基本パターン⑥（和Snが与えられているパターン、なぜn≧2としなければいけないのか）
• 前：漸化式をマスターしよう（２）基本パターン④（anan+1を含む漸化式）

☆YouTubeチャンネルの登録をよろしくお願いします→大学受験の王道チャンネル

（２）解説授業の原稿

a_nに√や指数がついている漸化式は両辺を対数でとる

それでは次は、a_nに√や指数がついているパターンの漸化式を解きます。

このようなパターンの漸化式は、両辺を対数でとります。ちなみに、√は1/2乗と表すこともできます。

• 指数法則を使いこなそう（累乗根は分数乗に、割り算や分数は－1乗にする）

それではこの

a₁=√5、a_n+1=√a_n

の漸化式を解きます。√a_nのようにa_nに√がついている場合は、両辺を対数でとります。このとき底は何にしても問題ありません。底を2にしても5にしても10にしても、あるいはeにしても構いません。今回は10を底とする対数で両辺を取り、

log₁₀a_n＋1=log₁₀√a_n

とします。ここから式変形をしていきます。

まず、√は先ほども確認した通り1/2乗のことなので、右辺はlog₁₀a_n^1/2となります。そして、対数の計算公式より、真数の累乗は対数の前に出すことができます。

• 対数（数学Ⅱ）公式一覧

そして、1/2log₁₀a_nにすると、左辺がn+1、右辺がnの形となったので、log₁₀a_n=b_nと置きかえると、この漸化式は

b_n+1=1/2b_n

と簡単な漸化式になります。そして、この漸化式は等比数列を表しており、初項がb₁つまりlog₁₀a₁で、公比が1/2の等比数列なので、

b_n=(log₁₀√5)･(1/2)ⁿ⁻¹

のようになります。

ここからはa_nを求めるために式変形していきます。(1/2)ⁿ⁻¹を対数の前に書き、√5はやはり5^1/2とすると、(1/2)ⁿ⁻¹･log₁₀5^1/2となり、そして今度は、対数の係数を対数の中に入れます。つまり、対数の係数は真数の累乗となるので、真数の部分の指数は1/2･(1/2)ⁿ⁻¹となり、

b_n=log₁₀5^{1/2･(1/2)^n−1}=log₁₀5^{(1/2)^n}

となります。そして、b_n=log₁₀a_nなので、

log₁₀a_n= log₁₀5^{(1/2)^n}

となり、両辺の真数をみると

a_n=5^{(1/2)^n}

となります。このような対数の方程式を解くときのポイントは、両辺を底が同じ対数のなかに全て入れてしまうということです。

このパターンもやはり基本の流れとなっています。

• 漸化式をマスターしよう（２）基本パターン①（特性方程式を利用して解く漸化式、漸化式の解法の基本にして奥義）

（３）解説授業の内容を復習しよう

①a_nに√や指数がついている漸化式

（４）漸化式基本パターン解説一覧

①漸化式をマスターしよう（２）基本パターン①（特性方程式を利用して解く漸化式、漸化式の解法の基本にして奥義）

②漸化式をマスターしよう（２）基本パターン②（n乗の項を含む漸化式）

③漸化式をマスターしよう（２）基本パターン③（分母と分子にanを含む漸化式）

④漸化式をマスターしよう（２）基本パターン④（anan+1を含む漸化式）

⑤漸化式をマスターしよう（２）基本パターン⑤（anにルートや指数がついている漸化式）

⑥漸化式をマスターしよう（２）基本パターン⑥（和Snが与えられているパターン、なぜn≧2としなければいけないのか）

⑦漸化式をマスターしよう（２）基本パターン⑦（階差数列の公式を使うパターン）

⑧漸化式をマスターしよう（２）基本パターン⑧（最も重要なパターン、これが理解できたら漸化式の基本はマスターしたと言えます）

（５）漸化式をマスターしよう（数学B）の解説一覧

①漸化式（数学B）公式一覧

②漸化式をマスターしよう（１）基本中の基本（等差数列の漸化式、等比数列の漸化式、そもそも漸化式とは何か）

③漸化式をマスターしよう（２）基本8パターン（①特性方程式を利用する漸化式、②n乗の項を含む漸化式、③分母と分子にanを含む漸化式、④anan+1を含む漸化式、⑤anにルートや指数がついている漸化式、⑥和Snが与えられているパターン、⑦階差数列の公式を使うパターン、⑧an+1=pan+f(n)）

④漸化式をマスターしよう（３）応用パターン解説（隣接3項間漸化式、発想が難しい漸化式、一般項を予想して数学的帰納法で証明するパターン）

（６）参考

☆漸化式をマスターしよう（数学B）解説動画・授業動画一覧

☆漸化式（数学B）公式一覧

☆漸化式（数学B）をマスターしよう（漸化式全パターンの解説・授業・演習問題一覧）

☆数列（数学B）公式一覧

☆数列（数学B）の解説・授業・公式・演習問題一覧

☆数学的帰納法（数学B）の解説・授業・公式・演習問題一覧

☆数学Bの解説動画・授業動画一覧

☆数学B公式一覧

☆数学Bの解説・授業・公式・演習問題一覧

☆数学Bの典型パターン一覧

☆数学の解説動画・授業動画一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学公式一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学の解説・授業・公式・演習問題一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学典型パターン一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学の語呂合わせ

☆数学学習に必要な参考書・問題集

---

「漸化式をマスターしよう」シリーズは、『細野真宏の数列と行列が面白いほどわかる本 Version2.0』（細野真宏著、(株)中経出版発行、現在は絶版）を参考にしています。

細野真宏先生が現在発行している出版物はこちら（小学館HP）→https://www.shogakukan.co.jp/author/5885

中経出版の参考書・問題集はこちら（学参ドットコム）→https://www.gakusan.com/