（１）解説授業動画
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（２）解説授業の原稿
①隣接3項間漸化式（特性方程式の解が2つ出るパターン、特性方程式の解が1つのパターン）
これからは応用パターンの漸化式の解説をします。まずは隣接3項間漸化式の解説をします。
隣接3項間漸化式とは、an+2−5an+1+6an=0のようにan+2とan+1とanで表される漸化式のことです。
このパターンの漸化式は特性方程式を使って解きます。後ほど解説しますが、隣接3項間漸化式の特性方程式は二次方程式になります。そのため隣接3項間漸化式の解法は2つのパターンがあります。なぜなら二次方程式が実数解を持つときは、実数解が2つのときと、1つのときがあるからです。
特性方程式が異なる2つの実数解をもつパターン
まず実数解が2つになるパターンを確認します。実際に
a1=1、a2=4、an+2−5an+1+6an=0
を解きながら解法の流れを確認していきましょう。
まずan+2=x2、an+1=x、an=1とした特性方程式
x2−5x+6=0
を作ります。そして、この特性方程式を解くと実数解はx=2, 3となります。ここで2をα、3をβとして、
an+2−α･an+1=β(αn+1−αan)
のαとβに2と3を入れてみると
an+2−2an+1=3(an+1−2an)
のようになります。
次に、先ほど代入した式のαとβを入れ替えた式
an+2−β･an+1=α(αn+1−αan)
にα=2とβ=3を代入してみると、
an+2−3an+1=2(an+1−2an)
のようになります。
特性方程式を利用して作ったこれらの2つの式
an+2−2an+1=3(an+1−2an)
an+2−3an+1=2(an+1−2an)
は元の漸化式an+2−5an+1+6an=0と同じものになっています。実際にこれらを展開して整理してみると、元の漸化式an+2−5an+1+6an=0に戻ります。つまり、このx2−5x+6=0の特性方程式は、隣接3項間漸化式をan+2−α･an+1=β(αn+1−αan)やan+2−β･an+1=α(αn+1−αan)のような形にするための方程式なのです。
そして、これらの式の左辺と右辺を比べみると、対応する項数の部分が1つずつずれた形になっています。an+2−2an+1=3(an+1−2an)の式で言えば、n+2はn+1の次の項であり、n+1はnの次の項になっています。an+2−3an+1=2(an+1−2an)の式も同様になっています。つまり、これらの形というのは、左辺がn+1、右辺がnの形になっていると言うことができます。
よって、このan+1−2anをbnとすれば、この漸化式an+2−2an+1=3(an+1−2an)はbn+1=3bnとなり、これはbnが公比が3の等比数列であるということを表しています。したがって
bn=an+1−2an=(a2−2a1)･3n−1
となり、b1とはa2−2a1なので、これを計算すると、
an+1−2an =2･3n−1
となります。
an+2−3an+1=2(an+1−2an)の式も同様に、an+1−3anは公比が2の等比数列なので、初項×2n−1を計算すれば、
an+1−3an=(a2−3a1)･2n−1=2n−1
となります。
あとはan+1−2an=(a2−2a1)･3n−1=2･3n−1からan+1−3an=(a2−3a1)･2n−1=2n−1を引き算すれば、an=2･3n−1−2n−1となり、これが答えとなります。
いかがでしょうか。隣接3項間漸化式はこのような流れで解きます。
特性方程式が実数解を1つしかもたないパターン
それでは次は隣接3項間漸化式の特性方程式の実数解が1つになるパターンを確認します。実際に問題を解きながら確認していきましょう。
a1=1、a2=5、an+2−6an+1+9an=0
先ほどと同様にan+2＝x2、an+1=x、an=1として特性方程式を作ります。そして、x2−6x+9=0の二次方程式を解くと、実数解は3だけの重解になります。先ほどは実数解が2つあったのでα、βと置きましたが、今回は実数解は1つしかないので、とりあえずαとして、
an+2−α･an+1=α(an+1−αan)
の式にα=3を代入していきます。この式は先ほどβだった部分がαになっています。そしてこの特性方程式を使って作った式
an+2−3･an+1=3(an+1−3an)
は元の漸化式an+2−6an+1+9an=0と同じものになっています。実際にこの式を展開して整理してみると、元の漸化式に戻ります。
ただ今回は1つしか式ができていないので、
an+2−3･an+1=3(an+1−3an)
だけでanを求めないといけません。この式は項数の対応する部分が1つだけズレている形になっているので、an+1−3anをbnと置くと、
bn+1=3bn
と置き換えることができます。今回はもう置き換えは使っていませんが、an+1−3an をまとめて1つの数列と見る考え方は同じです。初項はa2−3a1で、公比3つまり
an+1−3an=(a2−3a1)･3n−1
となります。これを計算すると、
an+1−3an=2･3n−1
となります。
繰り返しとなりますが、式はこれだけしかないので、先ほどのように連立させてan+1を消すということはできません。そこで、とりあえずこの式の左辺をan+1の形にしてみます。すると
an+1=3an+2･3n−1
の漸化式は基本パターンの漸化式の1つになっています。つまりan=pan+qnのようにn乗を含むパターンの漸化式になっているのです。よって、このパターンの漸化式の解法を使って漸化式を解いていきます。
n乗を含む場合は両辺をn+1乗で割るのでした。つまり今回は両辺を3n+1で割ります。すると
an+1/3n+1=3an/3n+1+2･3n−1/3n+1
のようになります。そしてここからは基本の流れ通り、左辺がn+1、右辺がnの形になるように式変形をして、今回も置き換えは使っていませんが、an/3nをかたまりで見ると、式変形をした漸化式
an+1/3n+1=an/3n+2/9
は、
bn+1=bn+2/9
のように等差数列になっています。よって
an/3n=a1/31+(n－1)・2/9
となります。右辺を整理すると、2/9n+1/9となるので、anについて解くために両辺を3n倍します。1/9は3−2なので、答えはan=(2n+1)･3n−2となります。
このように、隣接3項間漸化式の特性方程式の実数解が1つしか出ないパターンでも、基本パターンの解法が理解できていれば解くことができます。ちなみに隣接3項間漸化式は頻出の漸化式という訳ではありませんが、解法の流れは知っておくと良いでしょう。
②式変形の発想が難しい漸化式
【パターン1】
次は式変形の発想が難しい漸化式をいくつか解いてみます。基本のパターンではないので、式変形の方法が簡単には思いつきませんが、それでも「左辺をn+1、右辺をnの形にする」ということを発想の基本にします。
a1=1、nan+1=3(n+1)an
この漸化式は、このままの形では置き換えができません。なぜなら項数は確かに左辺がn+1、右辺がnの形になっていますが、係数の部分が左辺がn、右辺がn+1の形になっているので、置き換えをすることができないからです。それではどのようにすればよいのでしょうか。
このような場合は、両辺をn(n+1)で割ります。そうすることで
an+1/n+1=3･an/n
となり、左辺がn+1、右辺がnの形になるのです。こうなれば置き換えをすることができます。an/n=bnとおくと、
bn+1=3bn
となるので、bnは公比が3の等比数列となります。初項はa1/1なので、これを計算すると、
bn=a1/1･3n−1=3n−1
となり、bn=an/nなのでanで解けば、an=n･3n−1となります。
この両辺をn(n+1)で割るという発想が出るのは、nan+1=3(n+1)anの式の左辺のnを消してn+1とし、右辺のn+1を消してnとしたいという考え方が元になっています。
【パターン2】
それでは次の漸化式ではどうでしょうか。
a1=1/3、an+1=(2n−1)an/(2n+3)
とりあえずまず左辺に大きいもの、右辺に小さいものをもっていくという発想で両辺を2n+3でかけてみて、
(2n+3)an+1=(2n−1)an
となるところまでは、すぐに思いつくと思います。
しかし、ここからが進まなくなります。確かに項数だけを見れば、左辺がn+1、右辺がnの形になっているのですが、係数が対応していません。なぜなら、2n−1のnにn+1をいれてみると2n+1となり、2n+1のnにn+1をいれてみると2n+3となるので、2n−1と2n+3は1つ飛んでしまっているのです。よって、このままでは置き換えができません。
例えば、2n+3が2n+1なら置き換えができます。あるいは2n−1が2n+1でも置き換えができます。このように、この漸化式(2n+3)an+1=(2n−1)anを解くためには、間の2n+1が必要なのです。それではどうすればよいのでしょうか。
2n+1が足りなくて困っているのであれば、両辺に2n+1をかければいいのです。すると
(2n+3)(2n+1)an+1=(2n+1)(2n−1)an
のようになります。この式は対応する部分がそれぞれ1つずれた形になっています。2n+1の次は2n+3であり、2n−1の次は2n+1であり、nの次はn+1になっています。
このように両辺の対応する部分が全て1つだけずれた形にできれば、置き換えをすることができます。(2n+1)(2n−1)an＝bnとすると、左辺はbn+1になるので、この(2n+3)(2n+1)an+1=(2n+1)(2n−1)anは
bn+1=bn
となります。このbn+1=bnという漸化式が意味することは、ずっと同じ数が並んでいる数列であるということなので、bn=b1になり、b1=3･1･a1なので、bn=1となります。よってbn=(2n+1)(2n−1)anなので、an=1/(2n+1)(2n−1)となります。
ちなみに、bn+1=bnの漸化式を解くときに初項がb1、公差が0の等差数列と考えてもいいですし、初項がb1、公比が1の等比数列と考えてもいいです。
いかがでしょうか。このように、「間が抜けているのであれば、その間を埋めてあげる」という発想は数学において重要な発想です。
【パターン3】
それでは次の漸化式を解いてみます。
a1=1、a2=2、an+2−2an+1+an=6n
三項間漸化式ですが、右辺が0になっていないので特性方程式を使って解くことはできません。ではどうしたらよいのでしょうか。
正直、この漸化式は解いたことがあるか、誘導がないと自力で解くことは非常に困難だと思います。ヒントとしては、−2an+1を−an+1−an+1と分けてみることです。そうすれば、
an+2−an+1−an+1+an=6n
となり、このようにしてから「左辺にn+1と右辺にnを作って置き換えをする」という発想で考えてみてください。さらにヒントを与えると、−an+1+anをマイナスでくくって−(an+1−an)とします。
an+2−an+1−(an+1−an) =6n
とすれば、もうどのように置き換えをすればいいか分かると思います。
an+2−an+1−(an+1−an) =6n
のようにすると、an+2−an+1とan+1−anの対応する場所がそれぞれ1つずつズレた形になっています。つまり、n+1の次はn+2であり、nの次はn+1となっています。よってan+1−anをbnとおくと、an+2−an+1−(an+1−an) =6nは
bn+1−bn=6n
となり、この式はある項からその前の項を引くと6nという数列になっているということを表しているので、この6nはbnの階差数列であるということが分かります。
したがって、階差数列の公式を使えばbnを求めることができます。ただし、階差数列の公式はn−1を扱うので、n≧2のときとしてから階差数列の公式を使うようにします。今回は計算を省略して、
bn=3n2−3n+1
となり、bn＝an+1−anなので、
an+1−an=3n2−3n+1
となります。
そしてさらに、
an+1−an=3n2−3n+1
の式を見ると、右辺の3n2−3n+1はanの階差数列ということがわかるので、もう一度階差数列の公式を使います。そしてこれを計算すると
an=n3−3n2+3n
となります。
そして、ここまではn≧2のときの話をしていたので、この式an=n3−3n2+3nがn=1でも成り立つことを確認します。この式の右辺にn=1を代入し計算してみると1となり、問題文で与えられていたa1の値と一致するので、この式an=n3−3n2+3n はn=1のときも成り立つことが分かります。したがって、全ての自然数nにおいてan=n3−3n2+3nとなります。
いかがでしょうか。発想が難しい漸化式ではありましたが、「左辺をn+1、右辺をnにする」つまり「1つだけずれた形を作り、置き換えをすると解くことができる漸化式になる」という基本の考え方を元にして取り組むことで、解くことができます。
③一般項を予想して数学的帰納法で証明するパターンの漸化式
それではついに最後のパターンです。最後のパターンは最終手段になります。つまり今までのパターンの解法では解くことができない漸化式を解く方法です。その方法は、「一般項を予想して数学的帰納法で証明する」というやり方です。
一般項を予想するとはどういうことかというと、与えられた漸化式にn=1やn=2やn=3などを代入して、anがどのような式になるかを予想します。だいたい3つくらい代入すれば、予想できることが多いです。しかし、それはあくまでも予想なので、それを答えとしてはいけません。そこで数学的帰納法を使って、自分の予想が正しかったことを証明します。実際にやってみましょう。
a1=3、an2=(n+1)an+1+1
この漸化式は今までのパターンの解法では解くことができません。
まずは一般項を予想する
そういった場合は、とりあえずまずn=1を代入してみます。すると
a12=(1+1)a2+1
となるので、a1=3を代入して、a2で解くと
a2=4
となります。次にn=2も代入してみます。同様に計算すると
a3=5
となります。さらにn=3も代入して計算してみると
a4=6
となります。つまりこの漸化式が表す数列はn=1のときは3、n=2のときは4、n=3のときは5、n=4のときは6となっていることが分かります。よって
an=n+2
であると推測することができます。
しかしこれはあくまでも予想に過ぎないので、これを答えとすることはできません。確かにn=4までは、an=n+2が成り立つことは確認できていますが、nが5以上のときもan=n+2が成り立つことは示されていません。よって、ここからは全ての自然数nにおいてan=n+2となることを、数学的帰納法を使って証明します。
予想した一般項を数学的帰納法で証明する
それでは、an=n+2を数学的帰納法で証明します。数学的帰納法を使って証明するときは、しっかりとフォーマットに沿って証明していきましょう。
まずは、n=1のときこのan=n+2が成り立つことを示します。
ここで注意したいのが、an=n+2の両辺にn=1を代入したa1=1+2と書いてしまってはいけないということです。なぜならa1=1+2を今から証明しないといけないからです。つまり証明するということは、まだこのan=n+2が成り立っているかどうか分かっていない状態ということなので、an=n+2を証明にそのまま使ってはいけません。
そのため、証明したい式an=n+2の左辺にn=1を代入したもの
(左辺)=a1=3
を計算し、そして証明したい式an=n+2の右辺にn=1を代入したもの
(右辺)=1+2=3
を計算し、それぞれの計算結果が等しくなるから、(左辺)=(右辺)が成り立つといった流れで答案を書かないといけません。
ちなみに右辺のnに1を代入すると1+2となるので右辺は3となりますが、左辺のnに1を代入したa1が3となるのは、問題文にそう書いてあるからです。このように、問題文で与えられている式は成り立つことが分かっている式、つまり証明で使っていい式ということになります。
これでn=1のときan=n+2が成り立つことが証明できたので、次はn=kでan=n+2が成り立つと仮定した上で、n=k+1のときもan=n+2が成り立つことを証明します。
つまり、an=n+2のnにkを代入したak=k+2は成り立つと仮定しているので、証明で使ってよい式ということになります。
そして、an=n+2にn=k+1を代入したak+1=(k+1)+2という式は今から証明する式です。よって、この等式ak+1=(k+1)+2はまだ成り立つかどうか分かっていない等式なので、証明では使うことができません。
このように、何を証明で使ってよくて、今何を証明しているのかを明らかにすることが、数学的帰納法を理解するカギとなります。
それでは、ak+1=(k+1)+2を証明します。まずは証明したい式の左辺から始めます。
今、証明で使ってよい式は仮定の式ak=k+2と、問題文で与えられている式のan2=(n+1)an+1+1です。先ほども確認した通り、an2=(n+1)an+1+1は問題文で与えられているので、成り立つことが分かっている式です。そして今回は漸化式なので、an2=(n+1)an+1+1のnは自然数です。つまり、全ての自然数nにおいてan2=(n+1)an+1+1が成り立っているとされているので、an2=(n+1)an+1+1のnにkを代入した
ak2=(k+1)ak+1+1
も成り立っていると言えます。
よって、この式ak2=(k+1)ak+1+1をak+1で解くと、
ak+1=(ak2−1)/(k+1)
となり、次は仮定でak=k+2は成り立つとしているので、ak2を(k+2)2とします。そうすると、
ak+1={(k+2)2−1}/(k+1)
となり、そして分子を計算して因数分解すると、
ak+1=(k+1)(k+3)/(k+1)
となるので、約分をすると
ak+1=k+3=(k+1)+2
となります。
これで証明したい等式ak+1=(k+1)+2の左辺から始めて、右辺と同じ形になったので、ak+1=(k+1)+2は成り立つことが証明できました。よって数学的帰納法により、全ての自然数nにおいてan=n+2が成り立つことが証明できました。
いかがだったでしょうか。これでほぼ全ての漸化式のパターンを解説できたと思います。今回の解説を全て理解できれば漸化式はマスターできます。ぜひ自分でできるようになるまで復習してください。
（３）解説授業の内容を復習しよう
①漸化式の応用パターンにも取り組もう。これで漸化式がマスターできます！（問題一覧）
（４）漸化式をマスターしよう（数学B）の解説一覧
②漸化式をマスターしよう（１）基本中の基本（等差数列の漸化式、等比数列の漸化式、そもそも漸化式とは何か）
④漸化式をマスターしよう（３）応用パターン解説（隣接3項間漸化式、発想が難しい漸化式、一般項を予想して数学的帰納法で証明するパターン）
（５）数列（数学B）の解説一覧
②複利計算の解説（そもそも複利とは何か、積み立て預金の計算について解説しています）
③階差数列の公式の原理（答案の書き方、なぜn≧2にするのか、そもそもなぜこの公式が成り立つのかについて解説しています）
④数列を理解できているか試すことができる良問の解説（2015年センター試験本試数学ⅡB第3問を記述問題に改題しています）
⑥数学的帰納法の分かりやすい答案の書き方（不等式バージョン）
（６）参考
☆漸化式（数学B）をマスターしよう（漸化式全パターンの解説・授業・演習問題一覧）
☆数学の解説・授業・公式・演習問題一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）
「漸化式をマスターしよう」シリーズは、『細野真宏の数列と行列が面白いほどわかる本 Version2.0』（細野真宏著、(株)中経出版発行、現在は絶版）を参考にしています。
細野真宏先生が現在発行している出版物はこちら（小学館HP）→https://www.shogakukan.co.jp/author/5885
中経出版の参考書・問題集はこちら（学参ドットコム）→https://www.gakusan.com/