ばねの合成と切断（直列つなぎ、並列つなぎ、1/ｎに切断、M：mに切断したとき、ばね定数がどうなるか）

（１）解説授業動画

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（２）解説授業の原稿

ばねを直列でつないだとき、合成ばね定数がどのようになるか、あるいは並列でつないだとき、合成ばね定数がどのようになるか、そしてばねを切断したとき、ばね定数がどのようになるか、この3点について解説します。

直列つなぎの合成ばね定数

まずは、直列つなぎの合成ばね定数を考えてみます。

例えば下図のように、ばね定数k₁のばねと、ばね定数k₂のばねを直列でつなぎます。

そしてFの力で引っ張ったとき、ばね1の伸びをx₁、ばね2の伸びをx₂とします。この2つのばねの伸びの合計をxとすると、

x=x₁＋x₂　・・・(ア)

となります。

そして次に、それぞれのばねの弾性力を考えてみます。

ばね2はFの力で引っ張られているので、作用・反作用の法則から、ばね2は手をFの力で引っ張ります。つまり、ばね2の弾性力はFなので、ばね1をFの力で引っ張ります。すると、作用・反作用の法則から、ばね1は、ばね2をFの力で引っ張ります。よって、ばね1の弾性力もFとなります。ちなみに、ばね1は壁をFの力で引っ張り、作用・反作用の法則から壁はばね1をFの力で引っ張ります。

このように、ばねを直列つなぎにした場合に力を考えるときは、作用・反作用の法則で考えるようにしましょう。

力の矢印の書き方（場の力と接触力、作用・反作用の法則、積み重ねられた物体に働く力、浮力の反作用）

したがって、この2つのばねを1つのばねとみなし、その合成ばねのばね定数をkとすると、合成ばねの弾性力も、ばね1の弾性力も、ばね2の弾性力もFとなるので、フックの法則より、

F=kx=k₁x₁=k₂x₂

となります。そしてこの式を式変形して　

x=F/k
x₁=F/k₁
x₂=F/k₂

これらを(ア)の式に代入して、両辺をFで割ると

1/k=1/k₁＋1/k₂

という式が導かれます。

並列つなぎの合成ばね定数

それでは次に、並列つなぎの合成ばね定数を求めてみましょう。

例えば下図のように、ばね定数k₁のばねと、ばね定数k₂のばねを並列でつなぎます。そしてFの力で引っ張ったとします。

今回は、並列ですので、それぞれのばねの伸びが等しいものとして考え、その伸びをxとします。

この2つのばねを1つのばねとして考えたときの、合成ばね定数をkとすると、フックの法則より

F=kx

が成り立ちます。

また、ばね1が手を引っ張る力はフックの法則よりk₁xとなり、ばね2が手を引っ張る力はフックの法則よりk₂xとなります。ゆえに、

F=k₁x＋k₂x

が成り立ち、F=kx を代入して、両辺をxで割ると、

k=k₁＋k₂

を導くことができます。

ばねの切断

それでは最後に、ばねを切断した時のばね定数を求めてみます。

二等分に切断する

例えば、ばね定数kのばねを二等分に切断します。

そして、切断した後にできる、それぞれのばねのばね定数をk’とします。するとこれは、「ばね定数k’のばねを2つ直列でつないで、その合成ばね定数がkとなっている」と考えることができます。

そのため直列つなぎの式を使って、

1/k=1/k’＋1/k’

となり、計算すると1/k=2/k’となるので、

k’=2k

となります。このように二等分であれば、切った後のばね定数は元のばね定数の2倍となります。

n等分に切断する

同様に三等分の場合は、

1/k=1/k’＋1/k’＋1/k’

となって、

k’=3k

となります。

このように繰り返していけば、1/nに切断した場合は、ばね定数はn倍となることが分かると思います。

M：nの比で切断

また、ばね定数kのばねをM：mの比で切ったとき、それぞれのばねのばね定数がどのようになるかを考えてみましょう。Mの比で切ったばねのばね定数をk₁、mの比で切ったばねのばね定数をk₂とします。

もとのばねの長さをℓとし、Mの方のばねの長さをℓ₁、mの方のばねの長さをℓ₂とすると、ℓ₁はℓにM/(M＋m)をかけたものになり、ℓ₂はℓにm/(M＋m)をかけたものになります。

そして、ばねは1/nに切断されるとばね定数はn倍になります。つまり逆数の関係になっているので、元のばねの長さのM/(M＋m)倍になっている場合は、ばね定数は元のばね定数の(M＋m)/M倍となります。そして、ℓ₂はℓのm/(M＋m)倍となっているので、ばね定数は元のばね定数のm/(M＋m)倍となります。

このようにばねを切断して、それぞれのばね定数を求めということは単振動の応用問題で使う考え方なので、ぜひできるようにしておきましょう。