隣接3項間漸化式（特性方程式の解が2つ出るパターン、特性方程式の解が1つのパターン）【漸化式をマスターしよう】

（１）例題

①

②

（２）例題の答案

①特性方程式の解が2つ出てくるパターン

②特性方程式の解が1つしか出てこないパターン

（３）解法のポイント

隣接3項間漸化式を解くときは、特性方程式を利用します。つまり、a_n+2をx²、a_n+1をx、a_nを1とおいた二次方程式を解き、xの値を求めます。

そして、xの2つの解をα、βとすると、元の漸化式は、

①a_n+2－αa_n+1=β(a_n+1－αa_n)
②a_n+2－βa_n+1=α(a_n+1－βa_n)

の2つの式に変形できます（α＝βのときは1つ）

次に、

①a_n+1－αa_nは、初項a₂－αa₁、公比βの等比数列
②a_n+1－βa_nは、初項a₂－βa₁、公比αの等比数列

となるので、

①a_n+1－αa_n=(a₂－αa₁)・β^n-1
②a_n+1－βa_n=(a₂－βa₁)・α^n-1

となり、この2つの式を連立（a_n+1を消去）することでa_nを求めることができます。

また、α＝βで式が一つしかできないときは、

a_n+1－αa_n=(a₂－αa₁)・α^n-1

の形になるので、両辺をαⁿ⁺¹で割るパターンの漸化式として解きます。参考→漸化式をマスターしよう（２）基本パターン②（n乗の項を含む漸化式）

☆詳しい解説はこちら→漸化式をマスターしよう（３）応用パターン①（隣接3項間漸化式、特性方程式の解が2つ出るパターン、特性方程式の解が1つのパターン）

（４）必要な知識

（５）理解すべきコア（解説動画）

①漸化式をマスターしよう（３）応用パターン①（隣接3項間漸化式、特性方程式の解が2つ出るパターン、特性方程式の解が1つのパターン）

②漸化式をマスターしよう（２）基本パターン②（n乗の項を含む漸化式）

③漸化式をマスターしよう（１）基本中の基本（等差数列の漸化式、等比数列の漸化式、そもそも漸化式とは何か）

（６）参考

☆漸化式をマスターしよう（３）応用パターン解説（隣接3項間漸化式、発想が難しい漸化式、一般項を予想して数学的帰納法で証明するパターン）

☆数学の解説動画・授業動画一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学公式一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆計算のテクニック（数学）

☆絶対に知っておかないといけない数学の原則

☆数学に必要な思考法

☆数学学習に必要な参考書・問題集

「漸化式をマスターしよう」シリーズは、『細野真宏の数列と行列が面白いほどわかる本 Version2.0』（細野真宏著、(株)中経出版発行、現在は絶版）を参考にしています。
細野真宏先生が現在発行している出版物はこちら（小学館HP）→https://www.shogakukan.co.jp/author/5885
中経出版の参考書・問題集はこちら（学参ドットコム）→https://www.gakusan.com/