積分（数学Ⅲ）計算全パターン（整式）（問題と答え）【積分計算（数学Ⅲ）をマスターしよう】

☆問題のみはこちら→積分（数学Ⅲ）計算全パターン（整式）（問題）

☆積分（数学Ⅲ）の計算公式一覧

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①

【解説】

• 公式を利用しよう→積分法（数学Ⅲ）公式

②

【解説】

• 公式を利用しよう→積分法（数学Ⅲ）公式
• 「積分は微分の逆である」ということも意識しよう。この問題であれば、対数関数の微分の逆をしている→「積分は微分の逆である」ということを意識して積分の公式を理解しよう！

③

【解説】

• 公式を利用しよう→積分法（数学Ⅲ）公式
• x^αの積分は、αが－1以外のすべての実数で利用できる。つまり、αが（－1以外の）負の数でも分数でも無理数でも利用できる。

④

【解説】

• 公式を利用しよう→積分法（数学Ⅲ）公式
• x^αの積分は、αが－1以外のすべての実数で利用できる。つまり、αが（－1以外の）負の数でも分数でも無理数でも利用できる。

⑤

【解説】

• (3x+2)⁵が合成関数となっていることに注意。
• 全体を積分（f(g(x))のf(u)をuで積分）した後、中身の微分（f(g(x))のg(x)をxで微分）の逆数をかける。

⑥

【解説】

• 1/(2x+1)が合成関数となっていることに注意。
• 全体を積分（f(g(x))のf(u)をuで積分）した後、中身の微分（f(g(x))のg(x)をxで微分）の逆数をかける。

⑦

【解説】

• 分子に無理やり2x+3を作ることによって、合成関数の積分の形にもっていく。
• 全体を積分（f(g(x))のf(u)をuで積分）した後、中身の微分（f(g(x))のg(x)をxで微分）の逆数をかける。

（別解）置換積分法による答案

【解説】

• 2x=t－3
• 置換積分法についてはこちら→置換積分法

（別解）置換積分法による答案（ルートごと置き換える）

⑧

【解説】

• 係数を無理やり2x+5にすることで、合成関数の積分の形にもっていく。
• 全体を積分（f(g(x))のf(u)をuで積分）した後、中身の微分（f(g(x))のg(x)をxで微分）の逆数をかける。

（別解）置換積分法による答案

【解説】

• x=(t－5)/2
• 置換積分法についてはこちら→置換積分法

（別解）置換積分法による答案（ルートごと置き換える）

⑨

【解説】

• 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
  1. 分母の次数が1のとき→公式を利用（対数関数の微分の逆）
  2. 分母の次数が2以上のとき→部分分数分解
  3. 分母がx²+〇→x=2tanθと置換
  4. 分母の微分が分子→f'(x)/f(x)の形にする。
• 今回は部分分数分解。部分分数分解のやり方に関してはこちら→部分分数分解のやり方

⑩

【解説】

• 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
  1. 分母の次数が1のとき→公式を利用（対数関数の微分の逆）
  2. 分母の次数が2以上のとき→部分分数分解
  3. 分母がx²+〇→x=2tanθと置換
  4. 分母の微分が分子→f'(x)/f(x)の形にする（対数関数の微分の逆+合成関数の微分の逆）
• 今回は部分分数分解。部分分数分解のやり方に関してはこちら→部分分数分解のやり方

⑪

【解説】

• 分母の次数≦分子の次数のとき→次数下げ
• 次数下げのやり方についてはこちらを参照してください→根号や虚数単位iを含む式を代入して式の値を求める問題の解法（次数下げ）

⑫

【解説】

• x=(t+2)/3
• 置換積分法についてはこちら→置換積分法

（別解）ルートごと置き換える

（別解）置換積分法を使わない答案

【解説】

• 係数を無理やり3x－2にすることで、合成関数の積分の形にもっていく。
• 全体を積分（f(g(x))のf(u)をuで積分）した後、中身の微分（f(g(x))のg(x)をxで微分）の逆数をかける。

⑬

【解説】

• x=(t－1)/2
• 置換積分法についてはこちら→置換積分法

（別解）置換積分法を使わない答案

【解説】

• 係数を無理やり2x+1にすることで、合成関数の積分の形にもっていく。
• 全体を積分（f(g(x))のf(u)をuで積分）した後、中身の微分（f(g(x))のg(x)をxで微分）の逆数をかける。

⑭

【解説】

• g(x)・f(g(x))のときは置換積分法を考えてみる。
• 今回でいえば、x²+3を微分すると2xになるので、置換積分法で上手くいく。置換積分法についてはこちら→置換積分法

⑮

【解説】

• √〇－x²のときは、x=2sinθと置換すると上手くいく。これは、特殊な置換なので覚えておこう！
• 置換積分法についてはこちら→置換積分法

⑯

【解説】

• 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
  1. 分母の次数が1のとき→公式を利用（対数関数の微分の逆）
  2. 分母の次数が2以上のとき→部分分数分解
  3. 分母がx²+〇→x=2tanθと置換
  4. 分母の微分が分子→f'(x)/f(x)の形にする（対数関数の微分の逆+合成関数の微分の逆）
• 今回はx=2tanθと置換するパターン。これは特殊な置換なので覚えておこう！
• 置換積分法についてはこちら→置換積分法

⑰

【解説】

• 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
  1. 分母の次数が1のとき→公式を利用（対数関数の微分の逆）
  2. 分母の次数が2以上のとき→部分分数分解
  3. 分母がx²+〇→x=2tanθと置換
  4. 分母の微分が分子→f'(x)/f(x)の形にする（対数関数の微分の逆+合成関数の微分の逆）
• 今回はf'(x)/f(x)の形にするパターン。なぜこれが成り立つか分からなければ、logf(x)を微分してみるとよい（対数関数の微分+合成関数の微分）。

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☆問題のみはこちら→積分（数学Ⅲ）計算全パターン（整式）（問題）

☆積分（数学Ⅲ）の計算公式一覧

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【式の種類別演習問題一覧】

①積分（数学Ⅲ）計算全パターン（整式）

②積分（数学Ⅲ）計算全パターン（三角関数）

③積分（数学Ⅲ）計算全パターン（指数・対数）

④積分（数学Ⅲ）計算全パターン（異なる関数の積）

【パターン別演習問題一覧】

①合成関数の積分

②置換積分法

③分数式の積分

④部分積分法

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～参考～

☆積分計算（数学Ⅲ）をマスターしよう（解説・授業・公式・演習問題一覧）

☆積分（数学Ⅲ）の計算公式一覧

☆積分（数学Ⅲ）の計算公式の証明はこちら→「積分は微分の逆である」ということを意識して積分の公式を理解しよう！

☆微分法（数学Ⅲ）の計算公式一覧

☆微分計算（数学Ⅲ）をマスターしよう（解説・授業・公式・演習問題一覧）

☆数学Ⅲ公式一覧

☆数学Ⅲの解説・授業・公式・演習問題一覧

☆数学の解説動画・授業動画一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学公式一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学の解説・授業・公式・演習問題一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

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