分数式の積分（問題と答え）【積分計算（数学Ⅲ）をマスターしよう】

【考え方の基本】

• 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
  1. 分母の次数が1のとき→公式を利用（対数関数の微分の逆）
  2. 分母の次数が2以上のとき→部分分数分解
  3. 分母がx²+〇→x=2tanθと置換
  4. 分母の微分が分子→f'(x)/f(x)の形にする。

• 分母の次数≦分子の次数のとき→次数下げ

• 置換積分法も検討してみる。

【例題】

☆問題のみはこちら→分数式の積分（問題）

☆積分（数学Ⅲ）の計算公式一覧

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①

• 公式の利用→積分法（数学Ⅲ）公式
• 「積分は微分の逆である」ということも意識しよう。この問題であれば、対数関数の微分の逆をしている→「積分は微分の逆である」ということを意識して積分の公式を理解しよう！

②

• 1/(2x+1)が合成関数となっていることに注意。
• 全体を積分（f(g(x))のf(u)をuで積分）した後、中身の微分（f(g(x))のg(x)をxで微分）の逆数をかける。

③

• 2x=t－3
• 置換積分法についてはこちら→置換積分法

④

• 部分分数分解
• 部分分数分解のやり方に関してはこちら→部分分数分解のやり方

⑤

• 部分分数分解
• 部分分数分解のやり方に関してはこちら→部分分数分解のやり方

⑥

• 分母の次数≦分子の次数のとき→次数下げ
• 次数下げのやり方についてはこちらを参照してください→根号や虚数単位iを含む式を代入して式の値を求める問題の解法（次数下げ）

⑦

• 分母がx²+〇→x=2tanθと置換。これは特殊な置換なので覚えておこう！

⑧

• f'(x)/f(x)の形にするパターン。なぜこれが成り立つか分からなければ、logf(x)を微分してみるとよい（対数関数の微分+合成関数の微分）。

⑨

• f'(x)/f(x)の形にするパターン。なぜこれが成り立つか分からなければ、logf(x)を微分してみるとよい（対数関数の微分+合成関数の微分）。

⑩

• f'(x)/f(x)の形にするパターン。なぜこれが成り立つか分からなければ、logf(x)を微分してみるとよい（対数関数の微分+合成関数の微分）。

⑪

• f'(x)/f(x)の形にするパターン。なぜこれが成り立つか分からなければ、logf(x)を微分してみるとよい（対数関数の微分+合成関数の微分）。

⑫

• f'(x)/f(x)の形にするパターン。なぜこれが成り立つか分からなければ、logf(x)を微分してみるとよい（対数関数の微分+合成関数の微分）。

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☆問題のみはこちら→分数式の積分（問題）

☆積分（数学Ⅲ）の計算公式一覧

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【式の種類別演習問題一覧】

①積分（数学Ⅲ）計算全パターン（整式）

②積分（数学Ⅲ）計算全パターン（三角関数）

③積分（数学Ⅲ）計算全パターン（指数・対数）

④積分（数学Ⅲ）計算全パターン（異なる関数の積）

【パターン別演習問題一覧】

①合成関数の積分

②置換積分法

③分数式の積分

④部分積分法

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～参考～

☆積分計算（数学Ⅲ）をマスターしよう（解説・授業・公式・演習問題一覧）

☆積分（数学Ⅲ）の計算公式一覧

☆積分（数学Ⅲ）の計算公式の証明はこちら→「積分は微分の逆である」ということを意識して積分の公式を理解しよう！

☆微分法（数学Ⅲ）の計算公式一覧

☆微分計算（数学Ⅲ）をマスターしよう（解説・授業・公式・演習問題一覧）

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