RLC直列回路の式をベクトルの考え方を使って導く

（１）解説授業動画

より簡単にRLC直列回路の式を導く方法（三角関数の合成を使って導く方法）はこちら→RLC直列回路の式を三角関数の合成を使って導く（インピーダンスや遅角についても解説しています）

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（２）解説授業の原稿

RLC直列回路の電流と電圧

RLC直列回路とは、交流電源に抵抗とコイルとコンデンサーが直列で繋がれている回路のことをいいます。

RLC直列回路で、まず忘れてはいけない前提が１つあります。

それは、直列なので電流がどの場所でも同じであるということです。今回はその電流をI=I₀sinωtとします。

すると抵抗の電圧はV_R0sinωtとなり、コイルの電圧はV_L0sin(ωt+π/2)となり、コンデンサーの電圧はV_C0sin(ωt−π/2)となります。

よって、直列回路なので電源の電圧は

V=V_R0sinωt+V_L0sin(ωt+π/2)+V_C0sin(ωt−π/2)

このように全てを足したものになります。

電圧を合成するのに必要な2つの考え方

そして、この3つの電圧の足し算を

V=V_R0sinωt+V_L0sin(ωt+π/2)+V_C0sin(ωt−π/2)=V₀sin(ωt+α)

このように1つにまとめてみます。

RLC直列回路の式を三角関数の合成を使って導く（インピーダンスや遅角についても解説しています）

この3つの三角関数の式を1つのsinの式に合成したわけですが、この式変形を理解するために必要な知識は2つあります。

1つ目は、半径rの円の円周上の点の座標は(rcosθ, rsinθ)で表すことができるということです。

2つ目は、aベクトル=(x₁, y₁)、bベクトル=(x₂, y₂)のとき、aベクトル+bベクトル=(x₁+x₂, y₁+y₂)となることです。

円周上の点のy座標とみなす

まずは1つ目の考え方を使って

V=V_R0sinωt+V_L0sin(ωt+π/2)+V_C0sin(ωt−π/2)

この式を見直してみます。

V_R0sinωtというのは半径V_R0の円の円周上の点のy座標と見ることができます。また、V_L0sin(ωt+π/2)というのは半径V_L0の円の円周上の点のy座標と見ることができます。そしてV_C0sin(ωt−π/2)というのは半径V_C0の円の円周上の点のy座標と見ることができます。

つまりVというのは円周上をそれぞれ動いている点のy座標を足したものであるということになります。

ベクトルを導入する

次に2つ目の考え方を使ってみます。

3つの円の円周上の点をそれぞれV_R, V_L, V_Cとします。

そして、OV_RベクトルをV_Rベクトルとし、OV_LベクトルV_Lベクトルとし、OV_CベクトルV_Cベクトルとおき、Vベクトル=V_Rベクトル+V_Lベクトル+V_Cベクトルと定義すれば、Vベクトルのｙ成分はV_Rベクトルのｙ成分とV_Lベクトルのｙ成分とV_Cベクトルのy成分を足したもの、つまり

V_R0sinωt+V_L0sin(ωt+π/2)+V_C0sin(ωt−π/2)

となります。すなわちこの式を考えるということは、Vベクトルのｙ成分を考えればよいということになります。

そしてVベクトルのｙ成分を考えるためには、このVベクトルの終点が半径いくつの円の円周上にあるか、そして角度がωtからどれぐらいずれているのかが分かればVベクトルの終点の座標がわかるようになり、Vベクトルのｙ成分もわかり、すなわちこの式がわかるようになるということになります。

Vベクトルの終点Vのｙ座標

それでは、Vベクトルの終点Vのｙ座標を考えてみます。

ポイントは、このVが存在する円の半径V₀がいくつかということと、そして、ωtからのずれαがいくつであるかということの2点です。

それを考えるために半径V_R0の円、半径V_C0の円、半径V_L0の円をかいてみます。

Vが存在する円の半径とωtからのズレはV_RベクトルやV_LベクトルやV_Cベクトルがどの位置にあっても変わることはないので、今回は考えやすくするためにωt=0のときを考えてみます。

すると V_Rベクトル=(V_R0, 0)、V_Lベクトル=(0, V_L0)、V_Cベクトル=(0, −V_C0)となります。したがって

Vベクトル=V_Rベクトル+V_Lベクトル+V_Cベクトル=(V_R0, V_L0−V_C0)

となります。よって半径V₀はVベクトルの大きさと同じなので、三平方の定理を使って

V₀=Vベクトルの大きさ=√V_R0²+(V_L0−V_C0)²

このように求めることができます。

次にωtからのずれαを考えてみます。Vベクトルの終点Vは、ωt=0のときはVベクトル=(V_R0, V_L0−V_C0)なので、x座標がV_R0、y座標がV_L0−V_C0となり、よってαは

tanα=(V_L0−V_C0)/V_R0

をみたす角度ということになります。

ここまでの話をまとめると、Vは半径がV₀=√V_R0²+(V_L0−V_C0)²となる円の上にあり、tanα=(V_L0−V_C0)/V_R0を満たすαの分だけωtからずれた位置にある点ということになります。すなわち、半径と角度が分かったので、Vのy座標はV₀sin(ωt+α)の形で表すことができるということになります。