解と係数の関係の証明（三次方程式の解と係数の関係も解説しています）

（１）解説授業動画

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（２）解説授業の原稿

二次方程式の解と係数の関係

まずは、二次方程式の解と係数の関係を確認してみます。

二次方程式ax²+bx+c=0の解をα, βとすると、

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となるのが解と係数の関係です。ポイントとして、α+β=－a/bのマイナスを忘れやすいので注意してください。

ではなぜ解の和が－a/bとなるのか、あるいは解の積がc/aとなるのか、今回はその理由を説明します。

解とは何か？

まずはそもそも解とは何かについて解説します。

方程式の解とは、その方程式を満たす値のことです。

つまりxについての方程式のax²+bx+c=0解がα, βであるということは、αとβをこの方程式のxに代入しても成り立つということであり、それはつまり、この方程式の左辺であるax²+bx+cのxにαを代入した場合0となり、βを代入しても0となるということになります。

二次方程式の解と係数の関係の証明

したがって、この方程式の左辺は次のように書くこともできます。

ax²+bx+c=a(x－α)(x－β)

この式のxにαを代入したらこの式は0となり、また、この式のxにβを代入したらこの式は0となります。ただし、左辺のx²の係数がaなので、このイコールを成り立たせるために、右辺もx²の係数がaになるようにカッコの前にaを書くのを忘れないようにしてください。

そしてこの右辺を展開すると以下のようになります。

ax²+bx+c=a(x－α)(x－β)=ax²－a(α+β)x+aαβ

あとはax²+bx+cとax²－a(α+β)x+aαβの係数を比較して

b=－a(α+β), c=aαβ
⇔ α+β=－b/a, αβ=c/a

となるので、解と係数の関係が成り立つことを示すことができました。

このように成り立ちを知っておけば解と係数の関係がなぜこのようになるのか、あるいは、なぜ符号がこのようになるのかがわかると思います。

三次方程式の解と係数の関係

この考え方を使えば、三次以上の方程式でも、解と係数の関係を自分で作ることができます。

三次方程式ax³+bx²+cx+d=0の解をα, β, γとしたとき、
α+β+γ=－b/a, αβ+βγ+γα=c/a, αβγ=－d/a

となります。この三次方程式の解と係数の関係を先ほどの考え方を使って示してみます。

三次方程式の解と係数の関係を証明する

この方程式の解がα, β, γである、つまり、この方程式の左辺のxにαとβとγを代入した場合0となるということなので、この方程式の左辺は以下のように因数分解することができます。

ax³+bx²+cx+d=a(x－α)(x－β)(x－γ)

そして先ほどと同様に、この式を展開します。

展開のコツ

ここで、こういった式の展開のコツをお伝えします。

こういった式を展開するときに、分配法則を使って一度全部バラバラに展開してからそのあとxについて整理するというやり方をする人がいますが、こういった式の展開と、そのあと降べきの順に整理するといった手順は、一気にまとめて暗算でできるようになりましょう。

実際にやってみます。

まずはこの式を見て、xの最高次数を考えます。3つのカッコすべてにxがあるので、最高次数は3です。そして、展開してx³をつくるにはそれぞれのカッコからxを選べばいいので、x³の係数はaだけとなります。

次にx²の係数を考えます。この3つのカッコを展開してx²をつくるためには、3つのカッコのうちから2つxを選び、残りの1つはxを選ばないようにすればよく、考えられる組み合わせとしては、{－α, x, x}、{x, －β, x}、{x, x, －γ}の組み合わせなので、x²の係数はカッコの前のaに注意して、a(－α－β－γ)となります。

続いてxの係数について考えてみます。この3つのカッコを展開してxをつくるためには3つのうち1つxを選び、残りの2つはxを選ばないようにすればよく、その組み合わせは、{－α, －β, x}、{x, －β, －γ}、{－α, x, －γ}の3つの組み合わせなので、xの係数はa(αβ+βγ+γα)となります。

そして、定数項は3つのカッコすべてがxを選ばないようにすればいいので{－α, －β, －γ}の組み合わせとなり、定数項は－αβγとなります。

ax³+bx²+cx+d=a(x－α)(x－β)(x－γ)=ax³+a(－α－β－γ)x²+a(αβ+βγ+γα)x－αβγ

このように展開と整理を同時に行うようにすれば、早く計算ができるようになります。ぜひ試してみてください。