【使いどころ】
- g(x)・f(g(x))→g(x)=tとおく
- g'(x)・f(g(x))→g(x)=tとおく
- dxをdtに置き換えたときに、xが消去されるとき
- √〇-x2が含まれるとき
- 分母がx2+〇のとき
- sinxを含む式の積分で上手くいかないとき→x=π/2-θと置換して、cosθに変換する
【例題】
☆問題のみはこちら→置換積分法(問題)
①
※t=2x+3とすることで分子の2xもtで表すことができる(xを消去することができる)。
①の別解
※置換積分法を使わない別解もある。詳しくはこちら→積分(数学Ⅲ)計算全パターン(整式)
②
※t=2x+5とすることで係数のxもtで表すことができる(xを消去することができる)。
②の別解
※置換積分法を使わない別解もある。詳しくはこちら→積分(数学Ⅲ)計算全パターン(整式)
③
※t=2x+1とすることで係数のxもtで表すことができる(xを消去することができる)。
※置換積分法を使わない別解もある。詳しくはこちら→積分(数学Ⅲ)計算全パターン(整式)
④
※√〇-x2のときは、x=2sinθと置換すると上手くいく。これは特殊な置換なので覚えておこう!
⑤
※分母がx2+〇→x=2tanθと置換すると上手くいく。これは特殊な置換なので覚えておこう!
⑥
※「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
⑦
※「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
⑧
※「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
※3倍角の公式を利用した解法もある→積分(数学Ⅲ)計算全パターン(三角関数)
⑨
※「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
※3倍角の公式を利用した解法もある→積分(数学Ⅲ)計算全パターン(三角関数)
⑩
※「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
⑪
※「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
⑫
※「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
⑬
※「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
⑭
- 「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
- 分数式の積分についてはこちら→分数式の積分
- logM-logN=logM/N→対数公式
⑮
- 「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
- 分数式の積分についてはこちら→分数式の積分
- logM-logN=logM/N→対数公式
⑯
- sin(π/2-θ)=cosθとなる。詳しくはこちら→三角関数の性質を単位円で理解する(θ+2nπ、−θ、π±θ、π/2±θ)
- 半角の公式(2倍角の公式の逆)を利用している→三角関数公式
- sinxで上手くいかないときは、x=π/2-θと置換して、cosθに変換することを考えてみる。
- インテグラルの前に-がついているときは、積分区間を反対にすることができる。
⑰
- sin(π/2-θ)=cosθとなる。詳しくはこちら→三角関数の性質を単位円で理解する(θ+2nπ、−θ、π±θ、π/2±θ)
- 半角の公式(2倍角の公式の逆)を利用している→三角関数公式
- sinxで上手くいかないときは、x=π/2-θと置換して、cosθに変換することを考えてみる。
⑱
- 「t=sinxとすると1/cosxを作ることができ、t=cosxとすると1/sinxを作ることができる」ということを意識すると上手くいく。
- 分数式の積分についてはこちら→分数式の積分
⑲
- 部分積分法では上手くいかない。
- x3+1の微分が3x2であると気がつけば、置換すれば上手くいくと気がつくことができる。
⑳
- t=x2+2としても上手くいかない。
- log(x2+2)の微分(合成関数の微分)が2x/(x2+2)であると気がつけば、t=log(x2+2)と置換すれば上手くいくと気がつくことができる。
☆問題のみはこちら→置換積分法(問題)
【式の種類別演習問題一覧】
【パターン別演習問題一覧】
~参考~
☆積分計算(数学Ⅲ)をマスターしよう(解説・授業・公式・演習問題一覧)
☆積分(数学Ⅲ)の計算公式の証明はこちら→「積分は微分の逆である」ということを意識して積分の公式を理解しよう!
☆微分計算(数学Ⅲ)をマスターしよう(解説・授業・公式・演習問題一覧)