☆問題のみはこちら→積分(数学Ⅲ)計算全パターン(整式)(問題)
①
【解説】
- 公式を利用しよう→積分法(数学Ⅲ)公式
②
【解説】
- 公式を利用しよう→積分法(数学Ⅲ)公式
- 「積分は微分の逆である」ということも意識しよう。この問題であれば、対数関数の微分の逆をしている→「積分は微分の逆である」ということを意識して積分の公式を理解しよう!
③
【解説】
- 公式を利用しよう→積分法(数学Ⅲ)公式
- xαの積分は、αが-1以外のすべての実数で利用できる。つまり、αが(-1以外の)負の数でも分数でも無理数でも利用できる。
④
【解説】
- 公式を利用しよう→積分法(数学Ⅲ)公式
- xαの積分は、αが-1以外のすべての実数で利用できる。つまり、αが(-1以外の)負の数でも分数でも無理数でも利用できる。
⑤
【解説】
- (3x+2)5が合成関数となっていることに注意。
- 全体を積分(f(g(x))のf(u)をuで積分)した後、中身の微分(f(g(x))のg(x)をxで微分)の逆数をかける。
⑥
【解説】
- 1/(2x+1)が合成関数となっていることに注意。
- 全体を積分(f(g(x))のf(u)をuで積分)した後、中身の微分(f(g(x))のg(x)をxで微分)の逆数をかける。
⑦
【解説】
- 分子に無理やり2x+3を作ることによって、合成関数の積分の形にもっていく。
- 全体を積分(f(g(x))のf(u)をuで積分)した後、中身の微分(f(g(x))のg(x)をxで微分)の逆数をかける。
(別解)置換積分法による答案
【解説】
- 2x=t-3
- 置換積分法についてはこちら→置換積分法
(別解)置換積分法による答案(ルートごと置き換える)
⑧
【解説】
- 係数を無理やり2x+5にすることで、合成関数の積分の形にもっていく。
- 全体を積分(f(g(x))のf(u)をuで積分)した後、中身の微分(f(g(x))のg(x)をxで微分)の逆数をかける。
(別解)置換積分法による答案
【解説】
- x=(t-5)/2
- 置換積分法についてはこちら→置換積分法
(別解)置換積分法による答案(ルートごと置き換える)
⑨
【解説】
- 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
- 今回は部分分数分解。部分分数分解のやり方に関してはこちら→部分分数分解のやり方
⑩
【解説】
- 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
- 分母の次数が1のとき→公式を利用(対数関数の微分の逆)
- 分母の次数が2以上のとき→部分分数分解
- 分母がx2+〇→x=2tanθと置換
- 分母の微分が分子→f'(x)/f(x)の形にする(対数関数の微分の逆+合成関数の微分の逆)
- 今回は部分分数分解。部分分数分解のやり方に関してはこちら→部分分数分解のやり方
⑪
【解説】
- 分母の次数≦分子の次数のとき→次数下げ
- 次数下げのやり方についてはこちらを参照してください→根号や虚数単位iを含む式を代入して式の値を求める問題の解法(次数下げ)
⑫
【解説】
- x=(t+2)/3
- 置換積分法についてはこちら→置換積分法
(別解)ルートごと置き換える
(別解)置換積分法を使わない答案
【解説】
- 係数を無理やり3x-2にすることで、合成関数の積分の形にもっていく。
- 全体を積分(f(g(x))のf(u)をuで積分)した後、中身の微分(f(g(x))のg(x)をxで微分)の逆数をかける。
⑬
【解説】
- x=(t-1)/2
- 置換積分法についてはこちら→置換積分法
(別解)置換積分法を使わない答案
【解説】
- 係数を無理やり2x+1にすることで、合成関数の積分の形にもっていく。
- 全体を積分(f(g(x))のf(u)をuで積分)した後、中身の微分(f(g(x))のg(x)をxで微分)の逆数をかける。
⑭
【解説】
- g(x)・f(g(x))のときは置換積分法を考えてみる。
- 今回でいえば、x2+3を微分すると2xになるので、置換積分法で上手くいく。置換積分法についてはこちら→置換積分法
⑮
【解説】
- √〇-x2のときは、x=2sinθと置換すると上手くいく。これは、特殊な置換なので覚えておこう!
- 置換積分法についてはこちら→置換積分法
⑯
【解説】
- 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
- 分母の次数が1のとき→公式を利用(対数関数の微分の逆)
- 分母の次数が2以上のとき→部分分数分解
- 分母がx2+〇→x=2tanθと置換
- 分母の微分が分子→f'(x)/f(x)の形にする(対数関数の微分の逆+合成関数の微分の逆)
- 今回はx=2tanθと置換するパターン。これは特殊な置換なので覚えておこう!
- 置換積分法についてはこちら→置換積分法
⑰
【解説】
- 分母の次数が分子の次数よりも大きいとき
- 分母の次数が1のとき→公式を利用(対数関数の微分の逆)
- 分母の次数が2以上のとき→部分分数分解
- 分母がx2+〇→x=2tanθと置換
- 分母の微分が分子→f'(x)/f(x)の形にする(対数関数の微分の逆+合成関数の微分の逆)
- 今回はf'(x)/f(x)の形にするパターン。なぜこれが成り立つか分からなければ、logf(x)を微分してみるとよい(対数関数の微分+合成関数の微分)。
☆問題のみはこちら→積分(数学Ⅲ)計算全パターン(整式)(問題)
【式の種類別演習問題一覧】
【パターン別演習問題一覧】
~参考~
☆積分計算(数学Ⅲ)をマスターしよう(解説・授業・公式・演習問題一覧)
☆積分(数学Ⅲ)の計算公式の証明はこちら→「積分は微分の逆である」ということを意識して積分の公式を理解しよう!
☆微分計算(数学Ⅲ)をマスターしよう(解説・授業・公式・演習問題一覧)