導関数とは何か（導関数と微分係数を区別しよう、導関数と関数の増減との関係、増減表の正しい作り方）

（１）解説授業動画

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（２）解説授業の原稿

導関数は微分係数を教えてくれる関数

導関数f’(x)は微分係数を教えてくれる関数と言えます。

そのため、導関数を理解するためには、微分係数と関数とは何かを理解しないといけません。

関数とは何か

まずは関数とは何かについて確認します。

xの値が定まると、それに対応したyの値がただ1つに定まるときを、「yはxの関数である」といいます。

よく関数は自動販売機に例えられます。つまり、「自動販売機のボタンを押すと、それに対応したジュースが出てくる」、このような関係を関数といい、何かを入力したときにそれに対応したものを出力、つまり教えてくれるものが関数であるといえます。

微分係数が表すもの

次に微分係数が表すものについて確認します。

「x=aにおける微分係数」と言えばf’(a)と書きます。

この微分係数と、f’(x)つまり導関数はよく混同されてしまうのでしっかり区別しましょう。

x=aにおける微分係数とは、(a, f(a))における接線の傾きを表しています。つまり、微分係数とはグラフ上のある特定の点における接線の傾きを表していると言えます。

導関数が教えてくれるもの

よって導関数とは、元の関数の微分係数つまり接線の傾きを教えてくれる関数であり、元の関数つまりf(x)のグラフ上の点のx座標を導関数に代入すると、その点の接線の傾きを教えてくれるのです。

例えばy=f(x)のグラフがあり、このグラフ上のx座標が2の点、つまり(2, f(2))における接線の傾きを知りたいときは、まずはf(x)を微分して導関数f’(x)を求め、この導関数にx=2を代入します。そのようにして出てきたf’(2)がこの(2, f(2))おける接線の傾きとなっています。

このように知りたい場所のx座標を代入すると、その場所の接線の傾きを教えてくれるのが導関数なのです。

導関数と元の関数の関係

それでは導関数が何かについて理解できたところで、導関数つまりf’(x)と、元の関数f(x)の関係について確認してみます。

まず導関数f’(x)が正のときは、接線の傾きが正となるので、元の関数f(x)は増加します。また導関数f’(x)が負のときは、接線の傾きが負になるので、元の関数f(x)は減少します。そして導関数f’(x)が0の場合は、接線の傾きも0なので、元の関数f(x)は増加も減少もしません。

グラフで確認してみると、f’(x)がx軸よりも上、つまり正になっている部分は、元の関数f(x)は増加します。そしてf’(x)がx軸より下、つまり負になっている部分は、元の関数f(x)は減少しています。そしてf’(x)とx軸の交点、つまりf(x)が0になっている部分では、元の関数f(x)は増加も減少もしていません。