(1)例題
①
②
(2)例題の答案
①特性方程式の解が2つ出てくるパターン
②特性方程式の解が1つしか出てこないパターン
(3)解法のポイント
隣接3項間漸化式を解くときは、特性方程式を利用します。つまり、an+2をx²、an+1をx、anを1とおいた二次方程式を解き、xの値を求めます。
そして、xの2つの解をα、βとすると、元の漸化式は、
①an+2-αan+1=β(an+1-αan)
②an+2-βan+1=α(an+1-βan)
の2つの式に変形できます(α=βのときは1つ)
次に、
①an+1-αanは、初項a2-αa1、公比βの等比数列
②an+1-βanは、初項a2-βa1、公比αの等比数列
となるので、
①an+1-αan=(a2-αa1)・βn-1
②an+1-βan=(a2-βa1)・αn-1
となり、この2つの式を連立(an+1を消去)することでanを求めることができます。
また、α=βで式が一つしかできないときは、
an+1-αan=(a2-αa1)・αn-1
の形になるので、両辺をαn+1で割るパターンの漸化式として解きます。参考→漸化式をマスターしよう(2)基本パターン②(n乗の項を含む漸化式)
☆詳しい解説はこちら→漸化式をマスターしよう(3)応用パターン①(隣接3項間漸化式、特性方程式の解が2つ出るパターン、特性方程式の解が1つのパターン)
(4)必要な知識
①隣接3項間漸化式
②等比数列の漸化式
③特性方程式を利用して解く漸化式
(5)理解すべきコア(解説動画)
①漸化式をマスターしよう(3)応用パターン①(隣接3項間漸化式、特性方程式の解が2つ出るパターン、特性方程式の解が1つのパターン)
②漸化式をマスターしよう(2)基本パターン②(n乗の項を含む漸化式)
③漸化式をマスターしよう(1)基本中の基本(等差数列の漸化式、等比数列の漸化式、そもそも漸化式とは何か)
(6)参考
☆漸化式をマスターしよう(3)応用パターン解説(隣接3項間漸化式、発想が難しい漸化式、一般項を予想して数学的帰納法で証明するパターン)
「漸化式をマスターしよう」シリーズは、『細野真宏の数列と行列が面白いほどわかる本 Version2.0』(細野真宏著、(株)中経出版発行、現在は絶版)を参考にしています。
細野真宏先生が現在発行している出版物はこちら(小学館HP)→https://www.shogakukan.co.jp/author/5885
中経出版の参考書・問題集はこちら(学参ドットコム)→https://www.gakusan.com/