2つの円の位置関係は図をかいて確認しよう！（必要な要素は①2つの円の半径、②中心間の距離です）

（１）解説授業動画

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（２）解説授業の原稿

2つの円の位置関係を考えるときに必要な2つの情報

2つの円の位置関係を考えるときに、必要な情報が2つあります。

まず1つ目は2つの円の半径、そしてもう1つは中心間の距離、この2つの情報があれば、2つの円の位置関係が分かります。

教科書や参考書などでは、以下のようにまとめて書いてあります。

d＞r＋r′→外部にある
d＝r－r′→外接する
r－r′＜d＜r＋r′→2点で交わる
d＝r－r′→内接する
d＜r－r′→内部にある

しかし、2つの円の位置関係を知りたい場合は、これを丸々覚える必要はありません。この2つの情報を使って作図をすれば、どの関係にあるかが分かるようになります。

例題①：2つの円が外接する

実際に例題を使ってそのやり方を確認してみます。

例えば

x²＋y²＝4
(x－3)²＋(y+4)²＝9

このような2つの円があった場合、これらの位置関係を確認してみます。

必要な情報は半径と中心間の距離です。

上の円の半径は2で、下の円の半径は3です。そして中心間の距離は2点間の距離の公式を使って求めましょう。上の円の中心は(0,0)で、下の円の中心は(3,－4)なので、2点間の距離を使い、中心間の距離は5となります。

※2点間の距離の公式

必要な情報がそろったら、あとは作図をしていきます。

まずは中心の座標をかきます。そして中心間の距離をかきます。最後にそれぞれの円の半径と中心間の距離を考えながら円を作図します。

すると、図を見ればこの2つの円が外接するということが分かります。

例題②：2つの円が2点で交わる

次に、以下の2つの円の位置関係でも同様にやってみます。

x²＋y²＝30
(x－3)²＋(y+4)²＝9

中心の座標は先ほどと同じなので、中心間の距離は変わりません。しかし上の円の半径が√30となりました。

まずは先ほどと同様に、中心の座標と中心間の距離をかきます。そして次に半径をかいていきます。今回、上の円の半径が√30なので、5よりも大きくなります。また、下の円の半径が3であることを意識しながら円をかいてみます。

すると、この2つの円は2点で交わるということが分かります。

例題③：2つの円が内接する

それでは次に、以下の2つの円が内接するときのrを求めてみましょう。

x²＋y²＝r²
(x－3)²＋(y+4)²＝9

中心の座標は先ほどと変わっていないので、中心間の距離は5になります。上の円の半径はrですが、先ほどと同様の手順で作図をすればこのrが分かります。

まずは中心の座標と中心間の距離をかきます。次に半径を意識しながら円をかいていくのですが、上の円の半径は分からないので、下の円からかきます。下の円の半径は3なので中心間の距離を考えながら円をかきます。そして次に、2つの円が内接するように上の円をかいてみます。すると下図のようになり、上の円の半径はr=5＋3＝8が答えとなります。