確率を理解する上で最も重要な問題（トランプの確率、数字と絵柄など2つの情報の扱い方）

（１）解説授業動画

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（２）解説授業の原稿

確率を理解する上で最も重要な問題

トランプを題材とした確率の問題は、確率を理解する上でとても重要な問題です。そのため、確率を学習するときは、まずこの問題から取り組むようにしてください。

さっそく例題で確認してみましょう。

【問題】

トランプの絵札（J、Q、K）は、それぞれスペード・ハート・ダイヤ・クラブの4つの絵柄があるので、合計12枚ある。この12枚の中から4枚選ぶ。スペードをス、ハートをハ、ダイヤをダ、クラブをクとする。

ⅰ）｛ス・ハ・ダ・ク｝が選ばれる確率を求めよ。
ⅱ）｛J・Q・K｝が選ばれる確率を求めよ。
ⅲ）｛ス・ハ・ダ・ク｝が選ばれ、｛J・Q・K｝も選ばれる確率を求めよ。

ポイント①：2つの情報を分けて1つずつ考える

こういった問題を解く時のポイントを確認します。

トランプなどのように数字と絵柄といった2つの情報を扱うときは同時に処理をするのではなく、2つの情報を分けて1つずつ考えるようにしましょう。

ポイント②：まずは全事象（分母）を求める

まずは確率の問題なので全事象を求めるところから始めます。

今回は12枚の札の中から4枚を選ぶので₁₂C₄が全事象となります。これが今回求める確率の分母となります。

• 場合の数におけるPとCの違いを解説します！

1つ注意点として、この段階で₁₂C₄を計算しないようにしましょう。こういったものを先に計算してしまう人が多いのですが、最後まで取っておけば、後で約分ができ計算が楽になることが多いので、こういった計算は最後までとっておくようにしましょう。

ⅰ）の答案

それでは、ⅰ）の答案を確認します。

スペード、ハート、ダイヤ、クラブが全て選ばれる選び方を考えてみましょう。

ここで先ほど確認した、分けて1つずつ考えるという考え方を使います。トランプには絵柄と数字という2つの情報があるので、絵柄と数字を分けて考えます。

まずは絵柄を考えてみます。絵柄の選び方は、スペード、ハート、ダイヤ、クラブすべてを選ばないといけないので、1通りとなります。今回は同時に選ぶので順番は考えません。

次に、この選ばれた絵柄に対して数字を選びます。数字はジャック、クイーン、キングの3通りで、スペード、ハート、ダイヤ、クラブそれぞれに3つの数字があるので、3×3×3×3つまり3⁴となります。

このようにまず絵柄を選び、それに対して数字を選ぶというように、分けて1つずつ考えることで確実に確率を求めることができます。

ⅱ）の答案

次にⅱ）の答案を確認します。

今回も先ほどと同様に、数字と絵柄を分けて1つずつ考えてみます。

今回はまず数字から考えます。

数字の選び方は｛J, J, Q, K｝｛J, Q, Q, K｝｛J, Q, K, K｝の3通りとなります。3つの数字をすべて選びつつ4枚引かないといけないので、数字の選び方はこの3パターンとなります。

次に絵柄を考えます。例えば、｛J, J, Q, K｝に絵柄を割り当てていきます。

まずジャックですが、ジャックは2枚あるのでスペード、ハート、ダイヤ、クラブの4つの絵柄から2つを選び₄C₂となります。今回順番を考えないので、₄P₂や4×3としないように注意してください。

そしてクイーンは、スペード、ハート、ダイヤ、クラブの4つの絵柄が選べるので×4であり、キングも同様に4つの絵柄が選べるので×4とします。

ⅲ）の答案

最後のⅲ）の答案を確認します。

まずは先ほどと同様に数字から選びます。今回も数字の選び方は｛J, J, Q, K｝｛J, Q, Q, K｝｛J, Q, K, K｝の3通りとなります。

次に絵柄を選びます。

例えば、｛J, J, Q, K｝に絵柄を割り当ててみると、まずジャックにスペード、ハート、ダイヤ、クラブの4つのうちから2つの絵柄を選びます。

そして今回は4つの絵柄を全て選ばないといけないので、クイーンにはジャックで選ばれなかった2つの絵柄のうち1つを選びます。

最後にキングにはジャックとクイーンで選ばれなかった1つの絵柄から1つ選びます。これが絵柄の選び方になります。

ⅲ）の別解

またⅲ）は、別解として絵柄から先に選ぶやり方もあります。

まず絵柄の選び方は、スペード、ハート、ダイヤ、クラブのすべてを選ばないといけないので１通りです。

そして、この4つの絵柄に数字を割り当てていきます。

例えば｛J, J, Q, K｝をこの4つに割り当てるとすると、｛J, J, Q, K｝という文字の順列だと考え、JとJが同じものなので、同じものを含む順列であり、4!/2! となります。

そしてこの並び方は｛J, Q, Q, K｝のときも｛J, Q, K, K｝のときも同様なので×3をします。

（３）解説授業の内容を復習しよう

①トランプの確率（数字と絵柄など2つの情報を扱う確率）

（４）確率（数学A）の解説一覧

①確率（数学A）公式一覧

②確率を理解する上で最も重要な問題（トランプの確率、数字と絵柄など2つの情報の扱い方）

③反復試行の確率の式の意味（なぜnCrをつけるのか、3つ以上の反復試行の確率の求め方についても解説しています）

④条件付き確率の原理を解説します！（条件付き確率の公式、条件付き確率が意味すること、条件付き確率の求め方の流れについても解説します）

（５）順列と組み合わせ（数学A）の解説一覧

①順列と組み合わせ（数学A）の公式一覧

②同じものを含む順列の原理（なぜ同じものの階乗で割るのか、最短経路）

③正の約数の個数とその総和の求め方の原理

④場合の数におけるPとCの違いを解説します！

⑤円順列の原理（条件付きの円順列の問題の解説もしています）

⑥組分けの原理（なぜ組の数の階乗で割るのか）

⑦同じものを含むじゅず順列の問題の解法（じゅず順列の原理を理解しよう）

（６）参考

☆確率（数学A）の解説・授業・公式・演習問題一覧

☆順列と組み合わせ（数学A）の解説・授業・公式・演習問題一覧

☆数学Aの解説動画・授業動画一覧

☆数学A公式一覧

☆数学Aの解説・授業・公式・演習問題一覧

☆数学の解説動画・授業動画一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学公式一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学の解説・授業・公式・演習問題一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学典型パターン一覧（Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

☆数学の語呂合わせ

☆数学学習に必要な参考書・問題集