様々な単振動(問題)

☆答えはこちら→様々な単振動(問題と答え)

以下の場合の単振動の周期Tを求めよ。

(1)ばね振り子

ばね定数kのばねによって質量mの物体が鉛直につるされている。この物体を鉛直上方へ距離dだけ変位させて静かに放す。

(2)単振り子

長さℓの軽い糸に質量mの物体をつるし、十分小さな振り幅で振り子運動をさせた。重力加速度の大きさをgとする。

(3)浮力

ばね定数kのばねに、質量mの円柱状の物体がつるされ、円柱の一部が密度ρの液体に浸かっている。物体の底面は半径rの円で高さはhである。静止状態では深さdだけ物体は液体に浸っているとする。この物体をつり合いの位置からわずかに変位させて静かに放す。

(4)遠心力

十分大きな円盤が水平面上に設置されている。この円盤は中心の周りに自由に回転させることができる。半径方向に溝を掘り、溝に沿うように、自然長ℓで、ばね定数kのばねを用いて、質量mの質点と円盤の中心点をつないだ。円盤を角速度ω₀で回転させる。

(5)万有引力

地球を質量Mで半径Rの球体とみなし、密度は一様と仮定する。地球の中心を通り、地球の裏側まで貫通するトンネルに質量mの物体を落とす。万有引力定数をGとする。また、地球内部において、地球から受ける万有引力の大きさは地球の中心からの距離をrとすると、F=GMmr/R³で表される。

(6)静電気力

なめらかな内面を持つ管を鉛直に立て、下端に電荷Qに帯電した小球Aを取り付ける。管の中に質量mで、電荷qをもつ小球Bを静かに入れると、小球Bは静電気力と重力のつり合いの位置で静止し、小球間の距離はhであった。小球Bに、hに比べて十分小さい変位を与えて手を離す。│z│<<1のとき、(1+z)a≒1+azが成り立つとし、クーロンの比例定数をkとする。

(7)シリンダー中でのピストン

断面積Sで、なめらかなシリンダーを水平に固定し、質量mのピストンを用いて単原子分子の理想気体を密閉している。大気圧はP₀とする。このピストンをわずかに変位させて手を離すと単振動をする。│z│<<1のとき、(1+z)a≒1+azが成り立つとする。また、はじめの気体の体積をSℓとする。

①理想気体の温度を一定とみなすとき

②理想気体に熱の出入りがないとみなすとき

ただし、断熱変化では圧力P、体積Vの間にPVγ=(一定)が成り立つとする。

~参考~

単振動の速度と加速度を微分で導く解説動画(合成関数の微分を使っています)

☆単振動の勉強法はこちら→単振動

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☆力学の勉強法はこちら→力学の勉強法

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