（１）例題
グラフが以下の条件を満たす2次関数を求めよ。
①頂点が(2, －1)で(1, －4)を通る。
②軸が直線 x=2で、2点(1, －6)、(−1, 2)を通る。
③3点(1, －8)、(2, －14)、(－3, 56)を通る。
④放物線 y=3x2を平行移動した曲線で、2点(－2, 0)、(3, 0)を通る。
（２）例題の答案
①
頂点が(2, －1)なので、求める2次関数は、
y=a(x－2)2－1
とおける。
このグラフが(1, －4)を通るので、
－4=a(1－2)2－1
よって a=－3
したがって、求める2次関数は、
y=－3(x－2)2－1 （y=－3x2+12x－13でもよい）
②
軸が直線 x=2なので、求める2次関数は、
y=a(x－2)2+q
とおける。
このグラフが、(1, －6)、(−1, 2)を通るので、
－6=a(1－2)2+q
2=a(−1－2)2+q
となり、これらを連立すると、a=1, q=−7
よって求める2次関数は、
y=(x－2)2－7 （y=x2−4x−3でもよい）
③
求める2次関数を、y=ax2+bx+cとおく。
このグラフが、3点(1, －8)、(2, －14)、(－3, 56)を通るので、
−8=a+b+c ・・・(ア)
−14=4a+2b+c ・・・(イ)
56=9a−3b+c ・・・(ウ)
(イ)－(ア)より、
－6=3a+b ・・・(エ)
(ウ)－(イ)より、
70=5a－5b ・・・(オ)
(エ)と(オ)を連立させて、
a=2, b=－12
これらを(ア)に代入して、c=2
したがって求める2次関数は、
y=2x2－12x+2
④
x軸との交点が(－2, 0)、(3, 0)なので、求める2次関数は、
y=a(x+2)(x－3)
とおける。
また、y=3x2を平行移動させているので、a=3
よって求める2次関数は、
y=3(x+2)(x－3)
=3x2－3x－18
（３）解法のポイント
与えられた条件から二次関数の式を求める問題は以下の3つの式を使い分けるのがポイントです。
使い分けとしては、
3点が与えられている→①
頂点や軸が与えられている→②
x軸との交点の座標が与えられている→③
です。特に②と③はaを忘れないように注意してください。
また、①のパターンでは3つの文字を連立させることが多いのですが、この3つの文字の連立方程式（連立三元一次方程式）を解く手順は、
ⅰ）3つのうちからペアを2つ作って、1つ文字を消去した式を2つ作る。
ⅱ）ⅰを連立させて、まず2つの文字の値を求め、最後に残りの1つを求める。
この手順となります。