3次方程式の実数解の個数

（１）例題

3次方程式−2x³+x²−a=0 が異なる3つの実数解を持つときのaの条件を求めよ。

（2012年センター試験本試数学ⅡB第2問(2)改）

（２）例題の答案

−2x³+x²=a を考える。

f(x)=−2x³+x²とすると
f'(x)=−6x²+2x=−2x(3x−1)
なので、f(x)の増減表は以下となる。

x	……	0	……	1/3	……
f'(x)	−	0	+	0	－
f(x)	↘	0	↗	1/27	↘

よって、関数f(x)はx=0で極小値0、x=1/3で極大値1/27 をとる。

3次方程式−2x³+x²=a の実数解の個数は、y=f(x)のグラフと直線y=aの共有点の個数に等しいので、y=f(x)のグラフと直線y=aの共有点が3個となるときのaの条件を求めればよい。

よって、求めるaの条件は
0<a<1/27

（３）解法のポイント

3次方程式の実数解の個数を求める問題は、3パターンあります。

①aなどの文字が入っていないパターン
②aなどの文字が定数項に入っているパターン
③aなどの文字がxの係数に入っているパターン

①のときは、
f(x)=(左辺)として、y=f(x)のグラフをかきます。
そして、y=f(x)とx軸の交点の個数を考えます。
※y=f(x)とx軸の交点の個数 ⇔ f(x)=0の解の個数

②のときは、
aなどの文字を右辺に、それ以外を左辺にして（定数分離といいます）、f(x)=(左辺)として、y=f(x)のグラフをかきます。そして、y=f(x)とy=aの交点を考えます。※y=f(x)とy=aの交点の個数 ⇔ f(x)=aの解の個数

③のときは、
定数分離ができないので、①と同様に、
f(x)=(左辺)として、y=f(x)のグラフをかきます。そして、y=f(x)とx軸の交点の個数を考えます。
このとき、極値に文字が入るので、極大値とx軸の位置関係、あるいは、極小値とx軸の位置関係を考え、y=f(x)とx軸の交点の個数を考えます。