工夫して面積を求めよう(三角形・台形の面積を利用する)

(1)例題

座標平面上で、放物線y=x2をCとする。また、曲線C上の点P(a, a2)における接線ℓの方程式はy=2ax−a2である。ただし、0<a<2であるとする。

①曲線Cと直線ℓおよびx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

②曲線Cと直線ℓおよび直線x=2で囲まれた図形の面積Tを求めよ。

(2011年センター試験本試数学ⅡB第2問より)

(2)例題の答案

※①積分だけで解く場合

※②積分だけで解く場合

(3)解法のポイント

面積を求める場合、必ずしも積分だけで求める必要はありません。

三角形の面積であれば、底辺×高さ÷2

台形の面積であれば、(上底+下底)×高さ÷2

をすればよいのです。

また、三角形や台形を含む図形の面積を求めて、そこから引くという計算をすることで簡単になることがあります。

三角形や台形を見つけたら積極的に工夫して面積を求めましょう。