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3次関数のグラフ(増減表と極値)

(1)例題

aを正の実数として、xの関数f(x)を

f(x)=x3−3a2x+a3

とする。関数y=f(x)のグラフをかき、極値を求めよ。

(2013年センター試験本試数学ⅡB第2問より)

(2)例題の答案

f'(x)=3x2−3a2=3(x+a)(x−a)

a>0より増減表は以下の通りになる。

x−aa
f'(x)+00+
f(x)極大極小

よって、

x=−aで極大値3a3

x=aで極小値−a3

(3)解法のポイント

三次関数のグラフのかき方の手順は以下の通りです。

①導関数f'(x)を求める(微分をする)
②y=f'(x)のグラフをかき、y=f'(x)とx軸との交点、y=f'(x)のグラフが正(x軸より上)あるいは負(x軸より下)になっている場所を確認する。
※y=f'(x)とx軸との交点の座標を出すために、f'(x)=0の方程式を解く。
③増減表をかく。
④増減表をもとにグラフをかく。

この手順です。

②についての注意点は、

「y’=~~=0なので、x=~~」

といった答案の書き方はしてはいけないということです。
y’やf'(x)は導関数なので、これ自体を解いてxの値を求めることはできません(方程式ではありません)
そのため、もし導関数y=f'(x)とx軸の交点を求めたいのであれば、

「y’=0とすると~~」や「f'(x)=0とすると~~」

といった書き方にしないといけません。

③についての注意点は、

ⅰ)導関数f'(x)>0のとき(導関数のグラフがx軸よりも上にあるとき)→y=f(x)は増加する。
ⅱ)導関数f'(x)<0のとき(導関数のグラフがx軸よりも下にあるとき)→y=f(x)は減少する。
ⅲ)導関数f'(x)=0のとき(導関数のグラフとx軸が交わるとき)→y=f(x)は増加も減少もしない。

という対応を、導関数と元の関数はするのということを理解しましょう。

また、極値は増加と減少が変わる場所のことを言います。増加から減少に変わる場合は極大値、減少から増加に変わる場合は極小値といいます。
そのため、極値であればf'(x)=0となります。

ただし、逆の「f'(x)=0ならば極値である」は偽です。
※反例:導関数y=f'(x)がx軸と接するとき(このとき、元の関数f(x)の傾きは0になる瞬間はあるが、その前後では増加→傾き0→増加、または、減少→傾き0→減少となっているので、極値を持つとは言えない)

(4)理解すべきこと

①導関数とは何かを理解しましょう→導関数とは何か解説動画(導関数と微分係数を区別しよう、導関数と関数の増減との関係、増減表の正しい作り方)

②極値とは何かを理解しましょう→極値をもつ条件解説動画(そもそも極値とは何か、「f'(α)=0ならばx=αで極値をもつ」は偽である理由、極値の条件から係数を決定する問題で逆の確認(十分性の確認)をしないといけない理由も解説しています)

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