（１）例題
ｋを実数とし、座標平面上の点P（１，０）を通る、曲線C： y=－x3+9x2+kx の接線の本数がちょうど3本となるkの条件を求めよ。
（センター試験数学ⅡB2010第2問（１）より）
（２）例題の答案
f(x)=－x3+9x2+kx とする。
（ｔ，－t3+9t2+kt）におけるy=f(x)の接線の方程式は、f'(x)=－3x2+18x+kより
y=(－3t2+18t+k)(x－t)－t3+9t2+kt
⇔ y=(－3t2+18t+k)x+2t3－9t2
であり、この接線が点Pを通るとき
0=(－3t2+18t+k)･1+2t3－9t2
⇔ －2t3+12t2−18t=k
が成り立つ。
P(t)=－2t3+12t2−18tとおくと、
P'(t)=−6t2+24t−18=−6(t−1)(t−3)
であるので、P(t)の増減表は以下となる。
| t | …… | 1 | …… | 3 | …… |
| P'(t) | − | 0 | + | 0 | － |
| P(t) | ↘ | −8 | ↗ | 0 | ↘ |
ゆえに、P(t)は
t=1 で極小値 －8、t=3 で極大値 0をとる。
点Pを通るCの接線の本数は、ｔの方程式P(t)=kの異なる実数解の個数に等しい。つまり、y=P(t)のグラフと、y=k のグラフの共有点の個数を考えればよい。
したがって、点Pを通るCの接線の本数がちょうど3本になるのは
−8<k<0
（３）解法のポイント
3次関数に対して、曲線上にない点から3本の接線が引ける条件を求める問題の解法の手順としては、
①接点を(t,f(t))とおく。
②(t,f(t))における接線の方程式を求める→y－t=f'(t)(x－t)
③②に与えられている点の座標（今回はy座標をaとする）を代入し、aでまとめる。
※tの3次方程式の定数項にaが含まれた形になる。
④③の方程式の右辺はaだけにして、残りは左辺にする（定数分離）
※g(t)=(左辺)とすると、g(t)=aの形になる。
⑤y=g(t)のグラフをかき、y=aと交点が3つになるときのaの条件が答え
となります。
ポイントは以下のことが論理的に理解できているかです。
y=g(t)とy=aの交点が3つある。
⇔ g(t)=aという3次方程式の解が3つ存在する。
⇔ g(t)=aを満たすtの値が3つ存在する。
⇔ tは接点のx座標なので、g(t)=aという条件を満たす接点が3つ存在する。
⇔ 条件を満たす接線が3本存在する。（1つの接点に対応する接線は1本だから）
※3次関数のグラフでは，一つの直線が異なる2点で接することはない。
（４）必要な知識
①接線の方程式
