サイトアイコン 大学受験の王道

2つの円の位置関係

(1)例題

①x2+y2=4 と (x−3)2+(y+4)2=9の位置関係(2点で交わる、内接する、外接する、交わらずに外部にある、交わらずに内部にある)を答えよ。

②x2+y2=30 と (x−3)2+(y+4)2=9の位置関係(2点で交わる、内接する、外接する、交わらずに外部にある、交わらずに内部にある)を答えよ。

③x2+y2=r2 と (x−3)2+(y+4)2=9が内接するとき、rの値を求めよ。

(2)例題の答案

①x2+y2=4の中心の座標は(0, 0)であり、 (x−3)2+(y+4)2=9の中心の座標は(3, −4)であるので、2円の中心間の距離dは
d=5
また、x2+y2=4の半径は2、(x−3)2+(y+4)2=9の半径は3であるので、
この2円は外接する。

②x2+y2=30の中心の座標は(0, 0)であり、 (x−3)2+(y+4)2=9の中心の座標は(3, −4)であるので、2円の中心間の距離dは
d=5
また、x2+y2=30の半径は√30、(x−3)2+(y+4)2=9の半径は3であるので、
この2円は2点で交わる。

③x2+y2=r2の中心の座標は(0, 0)であり、 (x−3)2+(y+4)2=9の中心の座標は(3, −4)であるので、2円の中心間の距離dは
d=5
また、x2+y2=r2の半径はr、(x−3)2+(y+4)2=9の半径は3であるので、この2円が内接するとき
r=8

(3)解法のポイント

2つの円の位置関係(2点で交わる、内接する、外接する、交わらずに外部にある、交わらずに内部にある)を考える上で大切なポイントは2つあり、

①中心間の距離

②2円の半径

です。

この2つさえ分かっていれば、2つの円の位置関係は明らかになります。

中心間の距離をd、2つの円の半径をそれぞれr₁、r₂(r₁>r₂)とすると、

d>r₁+r₂ →交わらずに外部にある

d=r₁+r₂ →外接する

r₁-r₂<d<r₁+r₂ →2点で交わる

d=r₁-r₂ →内接する

d<r₁-r₂ →交わらずに内部にある

となります。

(4)必要な知識

①円の方程式

②2点間の距離

(5)理解すべきこと

2つの円の位置関係を図をかいて確認する方法を理解しましょう→2つの円の位置関係は図をかいて確認する

☆動画はこちら↓

モバイルバージョンを終了