１の３乗根ω

（１）例題

ωがx²+x+1=0の解の1つであるとき、次の式の値を求めよ。

(ω¹⁰⁰+1)¹⁰⁰+(ω²+1)¹⁰⁰+1

（2003年京都大学数学前期第4問改）

（２）例題の答案

ωはx²+x+1=0の解の1つであるので
ω²+ω+1=0
ω+1=－ω²
ω²+1=－ω
を満たしている。
また、
ω³－1=(ω－1)(ω²+ω+1)=0 より
ω³=1
を満たしている。
よって
(ω¹⁰⁰+1)¹⁰⁰+(ω²+1)¹⁰⁰+1
={(ω³)³³・ω+1)¹⁰⁰+(－ω)¹⁰⁰+1
=(ω+1)¹⁰⁰+ω¹⁰⁰+1
=(－ω²)¹⁰⁰+(ω³)³³・ω+1
=ω²⁰⁰+ω+1
=(ω³)⁶⁶・ω²+ω+1
=ω²+ω+1
=0

（３）解法のポイント

1の3乗根とは何かと言うと、3乗して1になる数のことです。

つまり、

x³＝1

となるときの、ｘの値のことです。

x³－1=0

(x－1)(x²+x+1)=0

x=1、(－1±√3i)/2

となり、このx=1ではない方の解の1つをωとしています。

※ちなみに、残り1つはω²となる。(－1+√3i)/2を2乗すると、(－1－√3i)/2となり、(－1－√3i)/2を2乗すると(－1+√3i)/2となる。

ゆえに、ωには以下の2つの性質があります。

①ω³＝1

②ω²+ω+1＝0　（ω²＝－ω－1やω+1＝－ω²の形で使うことも多い）

この2つを使って、問題を解きます。

（４）必要な知識

（５）理解すべきこと

1の3乗根ωの意味と使い方を理解しましょう→1の3乗根ω（オメガ）とは何か（ωの意味と使い方についての解説）

☆動画はこちら↓