線形計画法(円の半径を動かすとき)

(1)問題概要

x,yが不等式の表す領域(三角形や四角形)の中にあるとき、x²+y²+ℓx+my+nの最大値と最小値を求める問題。

(2)ポイント

基本的な解法の手順は、以下の通りです。

①まずは、不等式の表す領域を図示する

②つぎにx²+y²+ℓx+my+n=kとおく

③②を(x-a)²+(y-b)²=~の形に式変形する(kは~の中に含まれる)

④③は円を表すので、その円が①で図示した領域を通りながら、半径が最大・最小になるときの、半径の最大値と最小値を求める

⑤④で求めた半径が最大・最小になるときが、kの最大または最小になるときとなる

今回は、=kとおいた式が円を表し、kが半径を表す部分に含まれることになるので、円の半径を動かして、最大・最小になるときを考えます。

ただし、(x-a)²+(y-b)²=~の~の部分は半径の2乗なので、~にルートをつけたものが半径となることに注意してください。

④について補足すると、円が領域と接するとき、または領域の頂点を通るときに、半径が最大・最小となります。

円が領域と接するときを考えるとき、円の方程式と領域の境界線の方程式を連立することで、接点の座標が求められます。

また、どの点を通るときが、最大・最小になるか判断ができないときは、実際に代入してみて確認しましょう。

(3)必要な知識

(4)理解すべきコア