（１）例題
p, qを実数とし、関数f(x)=x3+px2+qxはx=－1で極大値2をとるとする。このときpとqの値を求めよ。
（2019年センター試験本試数学ⅡB第2問(1)より）
（２）例題の答案
f'(x)=3x2+2px+q
f(x)はx=－1で極値をとるので、
f'(－1)=0より
3－2p+q=0 ・・・(ア)
また、x=－1で極大値2をとるので、f(－1)=2より
－1+p－q=2 ・・・(イ)
(ア)(イ)より
p=0, q=－3
逆にこのとき
f(x)=x3－3x
f'(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)
なので、f(x)の増減表は以下のようになる。
| x | … | －1 | … | 1 | … |
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 2 （極大） | ↘ | −2 （極小） | ↗ |
したがって、確かにf(x)はx=－1で極大値2をとる。
（３）解法のポイント
例えばx=aで極大値、x=bで極小値をとるとすると、解法の手順は、
①f(a)=極大値、f'(a)=0、f(b)=極小値、f'(b)=0の4つの条件から係数を求め、3次関数を求める。
②①で求めた3次関数を微分して、増減表をかき、x=aで極大値、x=bで極小値をとるかどうかの確認をする。
この手順になります。①で一応答えは出ているはずなのに、なぜ②が必要なのでしょうか。
それは、極値の定義が、増加と減少が変わる場所のことだからです。
つまり、増加から減少に変わる場合は極大値、減少から増加に変わる場合は極小値と言っているのです。
そのため、極値であればf'(x)=0となりますが、逆の「f'(x)=0ならば極値である」は偽です。
※反例：導関数y=f'(x)がx軸と接するとき（このとき、元の関数f(x)の傾きは0になる瞬間はあるが、その前後では増加→傾き0→増加、または、減少→傾き0→減少となっているので、極値を持つとは言えない）
ゆえに、①で「x=aで極大値だからf'(a)=0」や「x=bで極小値だからf'(b)=0」としていますが、その逆の「f'(a)=0だからx=aで極大値」や「f'(b)=0だからx=bで極小値」が成り立っているとは限らないのです。
そのため②の逆の確認（十分条件の確認）が必要なのです。
※①は必要条件であり、②は十分条件である
（４）理解すべきこと
そもそも極値とは何か、なぜ逆の確認（十分性の確認）をしないといけないのか理解しましょう→極値をもつ条件（そもそも極値とは何か、「f'(α)=0ならばx=αで極値をもつ」は偽である理由、極値の条件から係数を決定する問題で逆の確認（十分性の確認）をしないといけない理由も解説しています）
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