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曲線上にない点を通る接線

(1)例題

(1, -2)を通る y=x3-3xの接線と接点をそれぞれ求めよ。

(2014年センター試験本試数学ⅡB第2問(2)より)

(2)例題の答案

(3)解法のポイント

「~を通る接線」と書いてあれば、~は接点とは限りません。
※「~における接線」であれば、~は接点となる。参考:接線の方程式(基本)

接点が与えられていない場合は、以下の手順で解きます。

①接点の座標を文字で置く→(a,f(a))
②f(x)を微分して導関数f'(X)を求め、f'(x)にx=aを代入して、x=aにおける微分係数f'(a)をaを使って表す
③接線を①②を使ってaで表すy-f(a)=f'(a)(x-a)
④③に与えられている点の座標を代入する
⑤④を整理して解いてaを求める(④を整理すると二次方程式または三次方程式となる)
⑥求めたaを③に代入する

以上の手順です。

接線の問題で接点が与えられていない場合は、まず自分で(a,f(a))と置いてみることがポイントです。

また、⑤の注意点として、aの三次方程式となった場合、因数定理を使って因数分解をします。因数定理についてはこちら→高次式の因数分解・高次方程式の解法の解説(因数定理を正確に理解しよう!)

(4)必要な知識

①接線の方程式

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