二次不等式が成り立つ条件(グラフ利用)

(1)問題概要

二次不等式が成り立つ条件を求める問題。xの範囲が指定されていないとき(全ての実数xについて~、任意の実数xについて~)と、範囲が指定されているときがある。

(2)ポイント

xの範囲が指定されていない(全ての実数x)ときは、判別式で考えます。

①y=f(x)が下に凸のとき、f(x)=0の判別式が負→f(x)>0がすべての実数xで成り立つ

②y=f(x)が上に凸のとき、f(x)=0の判別式が負→f(x)<0がすべての実数xで成り立つ

となります。

また、xの範囲が指定されているときは、グラフをかいて考えます。

例えば、y=f(x)が下に凸で、a≦x≦bでf(x)>0が成り立つ条件を考えます。

ⅰ)軸が範囲の左にある場合→f(a)>0

ⅱ)軸が範囲の中にある場合→頂点のy座標>0(または判別式<0)

ⅲ)軸が範囲の右にある場合→f(b)>0

となります。

どちらのパターンの問題でも、x²の係数が文字のときは、その係数が0、正の数、負の数で場合分けをしないときないことに注意してください。

なぜならx²の係数が0ならばそれは二次不等式とはならなくなってしまいます。

また、負の数で割ると不等号の向きが変わることにも注意しましょう。

(3)必要な知識

(4)理解すべきコア