☆問題のみはこちら→三角関数の極限(数学Ⅲ)をマスターしよう!(問題)
(1)まずは公式を証明しよう
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【証明】
![](https://daigaku-juken.net/wp-content/uploads/2022/07/三角関数の極限証明図つき-1024x576.jpg)
![](https://daigaku-juken.net/wp-content/uploads/2022/07/スライド3-6-1024x576.jpg)
- (ⅰ)で右側極限が1になることを示し、(ⅱ)で左側極限が1になることを示している。
- ちなみに、単位円であれば、弧ABの長さがxになるが、xが十分に小さいとき、AB≒弧AB≒ACとなる(上の図で、xを小さくしていくとABと弧ABとACがどんどん近づいていく)。つまり、xが十分に小さいとき、sinx≒x≒tanxとなる。この近似は物理でよく用いられるので知っておくとよい。
(2)演習問題
①
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- 三角関数の極限のポイントは、sin〇/〇の〇の部分をそろえることである。
②
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- 三角関数の極限のポイントは、sin〇/〇の〇の部分をそろえることである。
③
![](https://daigaku-juken.net/wp-content/uploads/2022/07/スライド3-7-1024x576.jpg)
- x/sinxの極限も1になることは知っておこう。
④
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- tanx/xの極限も1になることは知っておこう。(xが十分に小さいとき、sinx≒x≒tanxとなる近似からも理解することができる。)
⑤
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- x→∞となっていることに注意。三角関数の極限は→0でないと使えないので、t→0となるように置き換えをする。
⑥
![](https://daigaku-juken.net/wp-content/uploads/2022/07/スライド6-3-1024x576.jpg)
- 三角関数の極限のポイントは、sin〇/〇の〇の部分をそろえることである。
⑦
![](https://daigaku-juken.net/wp-content/uploads/2022/07/スライド7-3-1024x576.jpg)
- 三角関数の極限のポイントは、sin〇/〇の〇の部分をそろえることである。
⑧
![](https://daigaku-juken.net/wp-content/uploads/2022/07/スライド8-1-1024x576.jpg)
- 三角関数の極限の公式を用いるためにはsinxが必要である。そのため、「sinxを作ろう」という発想で式変形をする。
- sin2x+cos2x=1の利用
⑨
![](https://daigaku-juken.net/wp-content/uploads/2022/07/スライド9-1-1024x576.jpg)
- 三角関数の極限の公式を用いるためにはsinxが必要である。そのため、「sinxを作ろう」という発想で式変形をする。
- x→π/2となっているので、t→0となるように置き換えをする。
- 以上の発想から、con(π/2-x)=sinxの利用を考える。
- cos(π+θ)=-cosθも利用している。
⑩
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- 三角関数の極限のポイントは、sin〇/〇の〇の部分をそろえることである。
- √を含む式の極限を考えるときの基本として、逆有理化をする。
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