微分法（数学Ⅲ）の計算公式を証明しよう（問題と答え）【微分計算（数学Ⅲ）をマスターしよう】

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以下の微分の計算公式を、証明してみましょう！

①x^αの微分

ⅰ）αが自然数のとき（導関数の定義を使って証明する）

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• αが自然数のときは二項定理を使って(x+h)^αを展開することができる。

ⅱ）αが実数のとき（対数微分法を使って証明する）

【証明】

• αが自然数でないときは二項定理を使って(x+h)^αを展開することができない。そのため、導関数の定義を使って証明することができない。
• 対数微分法を使って証明する。xが正になるか決まらないので、絶対値をつけるのを忘れないようにする。

②積の微分

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• f(x+h)－f(x)とg(x+h)－g(x)の形を分子に作るために、－f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)を加えることがポイント。

③商の微分1

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• g(x+h)－g(x)の形を分子に作ることがポイント。

④商の微分2

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• f(x+h)－f(x)とg(x+h)－g(x)の形を分子に作るために、－f(x)g(x)+f(x)g(x)を加えることがポイント。

⑤sinxの微分

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• 和積の公式を使って式変形をしている。
• sin〇/〇の極限を考えるときは、〇の部分が同じものになるように式変形をする。
• 加法定理を利用して式変形することもできるが、計算が面倒になる。

⑥cosxの微分

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• 和積の公式を使って式変形をしている。
• sin〇/〇の極限を考えるときは、〇の部分が同じものになるように式変形をする。
• 加法定理を利用して式変形することもできるが、計算が面倒になる。

⑦tanxの微分

【証明】

• 商の微分を利用する。

⑧e^xの微分

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• 自然対数eを使った極限の公式は理解しておこう。

⑨a^xの微分（a>0, a≠1）

【証明】

• 導関数の定義では証明できないので、対数微分法を使って証明する。a^xが正になることの確認を忘れないようにする。

⑩対数関数の微分（底がeのとき）

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• 自然対数eを使った極限の公式は理解しておこう。

⑪対数関数の微分（底がeではないとき）

【証明】

• 導関数の定義を使って証明する。
• 自然対数eを使った極限の公式は理解しておこう。

⑫対数関数の微分2（底がeのとき）

【証明】

• 絶対値を処理するために場合分けをする。
• log(－x)の微分は合成関数の微分

⑬対数関数の微分2（底がeではないとき）

【証明】

• 底の変換公式を用いる。

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【微分計算（数学Ⅲ）の演習問題一覧】

①微分法（数学Ⅲ）の計算公式を使いこなそう！

②合成関数の微分法

③対数微分法

☆微分の計算公式の証明はこちら→微分（数学Ⅲ）の計算公式を証明しよう

～参考～

☆微分法（数学Ⅲ）の計算公式一覧

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