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素因数の個数、末尾に0が何個連続するか

(1)問題概要

ある自然数の階乗(n!)が、〇で何回割り切れるか、あるいは、末尾に0が連続して何個並ぶかを答える問題。

(2)ポイント

ある自然数の階乗(n!)が〇で何回割り切れるか(素因数分解をしたときに〇が何個含まれているか)を調べるときは、

①1~nまでの〇の倍数の個数

②〇²の倍数の個数

③〇³の倍数の個数

④〇⁴の倍数の個数

……

を調べて、

①+②+③+④+……

としたものが答えとなります。

例えば、

30!は3で何回割り切れるか(素因数に3を何個持つか)を考えてみると、

①1~30までに、3の倍数は10個ある(30÷3=10)

②3²の倍数は、3個ある(30÷9=3余り3)

③3³の倍数は、1個ある(30÷27=1余り3)

となるので、答えは、

10+3+1=14回となります。

よくある疑問点としては、

3²は3を2つ持っているのだから、3×2=6としなくてよいのか?

という質問があります。

×2をしなくてよい理由は、3の倍数の中に9の倍数も含まれているからです。

つまり、3の倍数の10個の中に9の倍数の3個も含まれているので、3の倍数の10個をカウントしたときに、9の倍数も1回カウントされているのです。

 

また、このタイプの問題でよくあるパターンは、「末尾に0が連続して何個並ぶか」というものです。

これは、素因数5の個数を数えればよいことになります。

理由は、

末尾に0が連続して並ぶ個数=10をかけている個数=5×2をかけている個数=5の個数(5の個数が2の個数よりも少ないとき)

だからです。

(3)必要な知識

(4)理解すべきコア

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