（１）解説授業動画
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（２）解説授業の原稿
正弦波の式
正弦波の式について解説します。
位置x、時刻tにおける変位は以下のように表されます。
y=Asin{2π/T・(t-x/v)+α}=Asin{2π(t/T－x/λ)+α}
Aは波の振幅、Tは波の周期、tはその時の時刻を表し、v は波の速さを表します。そしてλは波の波長を表し、xは変位を考えている位置を表し、αは初期位相を表します。
この式のAとTとvとλとαは波によって決まっている値です。つまりこの式の変数はtとxということになります。
そのためこの式に、変位を知りたい位置と時刻の値を代入することで、その位置のその時刻における変位を知ることができます。
それではなぜ正弦波の式がこのような形になるのか順を追って確認していきましょう。
x=0の時刻tにおける変位
それではこの式を理解するために、まずx=0の時刻tにおける変位を考えてみます。ただし、t=0のとき位相は0であるとします。位相とは何かについてはこの後解説します。
t=0のときの位相つまり初期位相が0である正弦波は下図の黒線のような形になります。
今回はこのような形の波のx=0つまり原点における媒質の変位を考えてみます。
正弦波とは何か
この点の媒質の変位を考えるために、まずそもそも正弦波とは何かを確認します。
正弦波とはsinの関数で表される波のことです。正弦波の式でもsinを使って表しています。
正弦波において重要なことは、正弦波の媒質は単振動をしているということです。つまり正弦波をつくっている媒質はそれぞれの場所で単振動をしているということです。
そのため原点における媒質の変位の式は単振動の変位の式で表すことができるので、以下のようになります。
y=Asin(2π/T・t)
単振動の変位の式がなぜこの式になるかは単振動のところを確認して欲しいのですが、(2π/T・t)の部分だけ今回は解説します。
位相とは何か
この部分のことを位相といいます。つまり位相とは、今、単振動がどのような動きをしているのかを表すものであるといえます。
例えば位相が0であれば変位は0であり、これから正の方向に移動しようとしている状態を表しています。円運動で対応させてみると、これから反時計回りに移動する角度が0の位置にいるということになります。
また位相がπ/2であれば媒質は、正の端の位置にあり、これから負の方向に移動しようとしている状態を表すことになります。対応する円運動では角度π/2の位置におり、これからさらに反時計回りに移動しようとしている位置にいるということになります。
また位相がπであれば変位は0であり、これから負の方向に移動しようとしている状態の単振動を表しています。対応する円運動では角度がπの位置で、これからさらに反時計回りに移動しようとしている状態ということになります。
これが位相というものの意味です。
x=0の時刻tにおける変位
話を正弦波の式に戻します。まず理解しておくべきことは、初期位相が0のときのx=0の媒質の変位は単振動の式を使って表すことができ、
y=Asin(2π/T・t)
となるということです。
これを基準にx=0以外の媒質の変位を式で表すにはどうすればよいか考えてみましょう。
位置xの時刻tにおける変位の式
それでは位置xの時刻tにおける変位の式を考えてみましょう。ただし、x=0, t=0の位相は0であるとします。
つまり先ほどと同様に、下図の黒線ような形の波から始まり右向きに移動する波を考えているということです。そして今回波の進む速さはvであるとします。
このときx=0の時刻tにおける変位は、先ほど確認した
y=Asin(2π/T・t)
となります。そして、x=0の時刻t－x/vにおける変位はこの式のtをt－x/vとして
y=Asin{2π/T・(t－x/v)}
となります。そして位置x、時刻tにおける変位は2番の式と同じ
y=Asin{2π/T・(t－x/v)}
となります。
x=0の時刻t－x/vにおける変位と位置x、時刻tにおける変位は同じである理由
なぜ2番の式と3番の式は同じになるのでしょうか。それは速さがvなので、x=0の位置からxの位置まで波が移動するのにx/v秒かかるからです。
つまり位置xにおける媒質の単振動の動きは、そのx/v秒前のx=0における媒質の動きと一致するので、位置xの時刻tにおける変位は位置x=0、時刻t－x/vにおける変位と等しくなるのです。
この関係をもう少し具体的に説明します。
例えば x=0からxの位置まで波が届くのに2秒かかるとしましょう。その場合x=0の0秒における変位は2秒かけて位置xにたどり着くので、2秒のときの位置ｘの変位と等しくなります。
あるいは位置xの5秒における変位を知りたければ、x=0の3秒における変位を調べればよいということになります。
ということはx=0からxの位置まで波が移動するのにx/v秒かかるとき、位置xの時刻tにおける変位を知りたければ、x=0のt－x/v秒の変位を調べればよいということになるので、2番目の式と3番目の式が一致するのです。
初期位相α、位置xの時刻tにおける変位の式
それでは最後にx=0, t=0の位相がαとなるときの位置xの時刻tにおける変位の式を考えてみます。x=0, t=0の位相のことを初期位相といいます。
初期位相がαであるということは先ほどとは違い、t=0のときの波はx=0の媒質が原点にないということになります。
つまり、より一般的な式を考えてみようということになります。まずは先ほど確認した初期位相が0のときの式がこちらです。
y=Asin{2π/T・(t－x/v)}
これに初期位相がαということは位相がαから始まっているということなので、元の式の位相の部分にαを足せば、より一般的な正弦波の式となります。
y=Asin{2π/T・(t-x/v)+α} ・・・（ア）
先ほどまでは初期位相が0だったので、αの部分が0の式を考えていたということになります。そして波の基本式のv=λ/Tを代入して整理すると以下の式となります。
y=Asin{2π(t/T－x/λ)+α} ・・・（イ）
これで正弦波の式を作ることができました。
（ア）の式と（イ）のの式の使い分けは、問題文で波の速さが与えられているときは（ア）の式を使い、波長が与えられているときは（イ）の式を使うようにしましょう。
（３）解説授業の内容を復習しよう
（４）波の伝わり方（物理基礎、物理）の解説一覧
③波の正体は媒質の単振動である（y-xグラフとy-tグラフ、縦波についても解説しています）
④定常波についてのまとめ（定常波とは何か、固定端反射と自由端反射、弦で発生する定常波、気柱で発生する定常波、固有振動とは、音（縦波）の大きさ（密度の変化）が最大になるときについても解説しています）
⑤正弦波の式y=Asin{2π/T(t-x/v)+α}の原理（位相とは何かについても解説しています）
（５）参考
☆物理の解説動画・授業動画一覧（力学・熱力学・波動・電磁気・原子）
☆物理に関する現象や技術（力学、熱力学、波動、電磁気、原子）