（１）例題
kを定数とする。自然数m, nに関する条件p, q, rを次のように定める。
p：m>k または n>k
q：mn>k2
r：mn>k
以下の（ ）に当てはまるものを、｛必要条件であるが十分条件ではない・十分条件であるが必要条件ではない・必要十分条件である・必要条件でも十分条件でもない｝から選べ。
①k=1とする。
pはqであるための（ ）
②k=2とする。
pはrであるための（ ）
③k=2とする。
pはqであるための（ ）
（2012年センター試験本試数学ⅠA第1問〔2〕より）
（２）例題の答案
①
p⇒qの対偶は、「mn≦1ならばm≦1かつn≦1」なので、m, nが自然数であることを考えれば対偶は真。よってp⇒qも真。
q⇒pの対偶は、「m≦1かつn≦1ならばmn≦1」なので、対偶は真。よってq⇒pも真。
したがって、pはqであるための必要十分条件である。
②
p⇒rの対偶は、「mn≦2ならばm≦2かつn≦2」なので、対偶は真。よってp⇒rも真。
r⇒pの対偶は、「m≦2かつn≦2ならばmn≦2」なので、対偶は偽（反例：m=2, n=2）。よってr⇒pも偽。
したがって、pはqであるための十分条件であるが必要条件ではない。
③
p⇒qの対偶は、「mn≦4ならばm≦2かつn≦2」なので、対偶は偽（反例：m=4, n=1）。よってp⇒qも偽。
q⇒pの対偶は、「m≦2かつn≦2ならばmn≦4」なので、対偶は真。よってq⇒pも真。
したがって、pはqであるための必要条件であるが十分条件ではない。
（３）解法のポイント
P→Qが真のとき十分条件、Q→Pが真のとき必要条件となります。
解法の手順としては、
①P→Qの真偽を確かめる
②Q→Pの真偽を確かめる
のように分けて順番に考えるようにしてください。
真偽は集合で考えたほうがやりやすい場合が多いです（特に不等式がある場合）
また、真偽を確かめるときに、そのままではやりにくい場合は対偶を利用してみましょう（対偶の真偽は元の命題の真偽と一致する）
「〜ない」「少なくとも〜」「〜または……」などがあった場合は、対偶をとるとうまくいくことが多いです。
（４）必要な知識
①「p⇒qが真」⇔ P⊂Q
②反例の見つけ方
→ｐならばｑの反例：ｐを満たし、かつ、ｑを満たさないもの
③ｐはｑであるための○○条件
・ｐ⇒ｑが真：十分条件
・ｑ⇒ｐが真：必要条件
・ｐ⇒ｑが真、かつ、ｑ⇒ｐが真：必要十分条件（同値）
④対偶
命題の真偽を考えるときのコツを理解しましょう→命題の真偽を集合で考えてみましょう！（命題の真偽と集合の関係、「P⇒Qが真」⇔「P⊂Q」）