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以下の微分の計算公式を、証明してみましょう！
①xαの微分
ⅰ）αが自然数のとき（導関数の定義を使って証明する）
【証明】
ⅱ）αが実数のとき（対数微分法を使って証明する）
【証明】
- αが自然数でないときは二項定理を使って(x+h)αを展開することができない。そのため、導関数の定義を使って証明することができない。
- 対数微分法を使って証明する。xが正になるか決まらないので、絶対値をつけるのを忘れないようにする。
②積の微分
【証明】
- 導関数の定義を使って証明する。
- f(x+h)－f(x)とg(x+h)－g(x)の形を分子に作るために、－f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)を加えることがポイント。
③商の微分1
【証明】
- 導関数の定義を使って証明する。
- g(x+h)－g(x)の形を分子に作ることがポイント。
④商の微分2
【証明】
- 導関数の定義を使って証明する。
- f(x+h)－f(x)とg(x+h)－g(x)の形を分子に作るために、－f(x)g(x)+f(x)g(x)を加えることがポイント。
⑤sinxの微分
【証明】
- 導関数の定義を使って証明する。
- 和積の公式を使って式変形をしている。
- sin〇/〇の極限を考えるときは、〇の部分が同じものになるように式変形をする。
- 加法定理を利用して式変形することもできるが、計算が面倒になる。
⑥cosxの微分
【証明】
- 導関数の定義を使って証明する。
- 和積の公式を使って式変形をしている。
- sin〇/〇の極限を考えるときは、〇の部分が同じものになるように式変形をする。
- 加法定理を利用して式変形することもできるが、計算が面倒になる。
⑦tanxの微分
【証明】
- 商の微分を利用する。
⑧exの微分
【証明】
- 導関数の定義を使って証明する。
- 自然対数eを使った極限の公式は理解しておこう。
⑨axの微分（a>0, a≠1）
【証明】
⑩対数関数の微分（底がeのとき）
【証明】
- 導関数の定義を使って証明する。
- 自然対数eを使った極限の公式は理解しておこう。
⑪対数関数の微分（底がeではないとき）
【証明】
- 導関数の定義を使って証明する。
- 自然対数eを使った極限の公式は理解しておこう。
⑫対数関数の微分2（底がeのとき）
【証明】
- 絶対値を処理するために場合分けをする。
- log(－x)の微分は合成関数の微分
⑬対数関数の微分2（底がeではないとき）
【証明】
- 底の変換公式を用いる。
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～参考～
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