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平面に下した垂線、四面体の体積と底面積(体積を2通りで表す)

(1)例題

(2019年センター試験本試数学ⅡB第4問(3)(4)より)

(2)例題の答案

(3)解法のポイント

平面に垂線を下したときの垂線の足の座標を求めたり、それを使って四面体の体積や底面積を求める問題のポイントは、

まずは、垂線と平面の交点をHとおき、

OHベクトル=s(OAベクトル)+t(OBベクトル)+u(OCベクトル)

(s+t+u=1)

と表します。s+t+u=1の条件はとても重要なので忘れずに書いておきましょう。

次に、「直線と平面が垂直」と問題に書いてあったら、

「直線と平面上の直線2本と垂直」

と読み替えるようにしましょう。

例えば、

「直線OHが平面ABCに垂直」ならば、

「OHはABと垂直、かつOHはACと垂直」

と考えます。

すると、内積=0の式が2つでき、s+t+u=1の式と合わせて3つの方程式ができるので、s、t、uの3つの文字を求めることができるのです。

さらに続けて、四面体の体積を考えるときは、だいたいOHがその四面体の高さとなっています。それを使って体積を求めましょう。

また、底面積を求める場合は、求める底面積をSとおき、体積を2通りで表してSを求める流れになることが多いです。

(4)必要な知識

①共面条件(4点が同一平面上にある条件)

②ベクトルを使った三角形の面積の公式

(5)理解すべきこと

ベクトルの問題で重要な解法を理解しましょう。

ベクトルの問題で重要な解法

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