(1)例題
次の命題とその否定の真偽をそれぞれ答えよ。
①すべての素数は奇数である。
②ある実数xについて x2≦0
③任意の実数x, yに対して x2-6xy+9y2>0
(2)例題の答案
①元の命題は 偽(反例:素数2は偶数である)
命題の否定「ある素数は偶数である」は 真(素数2は偶数だから)
②元の命題は 真(x=0で成り立つから)
命題の否定「すべての実数xについて x2>0」は 偽(反例:x=0)
③x2-6xy+9y2=(x-3y)2より
元の命題は 偽(反例:x=3, y=1)
命題の否定「ある実数x, yに対して x2-6xy+9y2≦0」は 真(x=3, y=1のときx2-6xy+9y2=0となるから)
(3)解法のポイント
「すべての~は……である」の否定は「ある~は……ではない」、「ある~は……である」の否定は「すべての~は……ではない」となります。
「任意の~」は「すべての~」と読み替えます。
また、「ある~」の命題の真偽を考えるときは、「~を満たすものが1つでもあるか(存在するか)」と考えます。~を満たすものが1つでもあれば真、1つもなければ偽となります。
さらに、今回の例題から分かるように、元の命題が真のときその命題の否定は偽となり、元の命題が偽のときその命題の否定は真となります。
(4)必要な知識
①Aの否定、Aではない